Найти сумму ряда, используя ряды Фурье

[matan]

Так по косинусам функция раскладывается так? $\[ 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{8n}} {{\pi b^2 + 8n^2 }}\cos 2nx} \]$

-- Пн июн 22, 2009 16:20:13 --

ewert в сообщении #223976 писал(а):

А вот к косинусам -- запросто.

Подскажите пожалуйста как??? А то, что называется, заклинило!

[Gordmit]

А на каком интервале раскладывали? У меня что-то выходит на $(0,\pi)$ такой ряд Фурье по косинусам:

$$\frac{e^{\pi b}-1}{\pi b}+\frac{2b}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n e^{\pi b}-1}{b^2+n^2}\cos nx$$

и $n$ в числителе отсутствует, так что что ни подставляй, исходный ряд не получится. $n$ появляется в числителе в разложении по синусам, но синусы не годятся...

[matan]

Gordmit в сообщении #224009 писал(а):

А на каком интервале раскладывали? У меня что-то выходит на $(0,\pi)$ такой ряд Фурье по косинусам:

$$\frac{e^{\pi b}-1}{\pi b}+\frac{2b}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n e^{\pi b}-1}{b^2+n^2}\cos nx$$

и $n$ в числителе отсутствует, так что что ни подставляй, исходный ряд не получится. $n$ появляется в числителе в разложении по синусам, но синусы не годятся...

Да я тоже на $(0,\pi)$ раскладывал. Видать где-то ошибся

-- Пн июн 22, 2009 19:06:12 --

Gordmit в сообщении #224009 писал(а):

и $n$ в числителе отсутствует, так что что ни подставляй, исходный ряд не получится. $n$ появляется в числителе в разложении по синусам, но синусы не годятся...

Ну и что теперь делать??

[MGM]

$$F\left( \omega \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\exp \left( { - i2\pi \omega n} \right)n}} {{4n^2 + a^2 }}} ;$$

Находите исходную функцию$ $F\left( \omega \right)$ $
от

$$\omega $$

которая даёт коэффициенты

$${\frac{n} {{4n^2 + a^2 }}}$$

при разложении в ряд Фурье.
Затем подставляете

$$\omega = \frac{1} {2};$$

И в дамках.

[matan]

MGM в сообщении #224053 писал(а):

Находите исходную функцию

Это понятно
А КАК найти эту функцию?

[Полосин]

Виноват, недоглядел. Этот ряд, увы, выражается лишь через специальные функции:

$$ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^kk}{k^2+a^2}=\frac12(\beta(ia)+\beta(-ia)), \beta(z)=\frac12\left(\psi\left(\frac{z+1}2\right)-\psi\left(\frac z 2\right)\right), \psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}. $$

[matan]

Полосин в сообщении #224063 писал(а):

Виноват, недоглядел. Этот ряд, увы, выражается лишь через специальные функции:

$$ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^kk}{k^2+a^2}=\frac12(\beta(ia)+\beta(-ia)), \beta(z)=\frac12\left(\psi\left(\frac{z+1}2\right)-\psi\left(\frac z 2\right)\right), \psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}. $$

А без специальных функций никак?

-- Пн июн 22, 2009 20:32:20 --

Может спасает то, что в знаменателе не $\[ k^2 + a^2 \]$, а $\[ 4k^2 + a^2 \]$

[MGM]

matan в сообщении #224057 писал(а):

MGM в сообщении #224053 писал(а):

Находите исходную функцию

Это понятно
А КАК найти эту функцию?

Хотите гамма функцией побаловаться?
Нет?
Тогда напишите моё условие в виде формулы:
Слева - дробь, справа интеграл-свёртка неизвестной функции с Эйлеровой экспонентой.
Или забыли как вычисляются коэффициэнты Фурье?

Далее дифференцируете обе части по $n$, при этом в правой две первообразные с соответствующими пределами.
В конце концов увидите, что никакой гамма функцией там и не пахнет.
Обычный рациональный полином.

[Gordmit]

matan в сообщении #224071 писал(а):

-- Пн июн 22, 2009 20:32:20 --

Может спасает то, что в знаменателе не $\[ k^2 + a^2 \]$, а $\[ 4k^2 + a^2 \]$

Не спасает: $4k^2+a^2=4\left(k^2+\bigl(\frac{a}{2}\bigr)^2\right)$.

[MGM]

Моё решение не годится.
В лоб.
Пределы суммирования должны быть от минус 8 до 8.

[matan]

MGM в сообщении #224093 писал(а):

Хотите гамма функцией побаловаться?

Не очень

MGM в сообщении #224104 писал(а):

Моё решение не годится. В лоб.

И что-же теперь делать
По-моему так: если в задании написано найти сумму используя ряды Фурье, то должна же быть подходящая функция

[Gortaur]

Полосин
насколько я помню, $\psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}$ - может, поможет?

[Полосин]

Неужели Прудников, Брычков и Маричев уже много лет обманывают всю математическую общественность? Если вы вычислите эту сумму в элементарном виде, скорее сообщите мне - я непременно напишу Брычкову об этом.

[matan]

Полосин в сообщении #224063 писал(а):

Виноват, недоглядел. Этот ряд, увы, выражается лишь через специальные функции:

$$ \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^kk}{k^2+a^2}=\frac12(\beta(ia)+\beta(-ia)), \beta(z)=\frac12\left(\psi\left(\frac{z+1}2\right)-\psi\left(\frac z 2\right)\right), \psi(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}. $$

Можно тогда подробнее о том как получается такой результат??

[Gortaur]

Я написал лишь реккурентное соотношение, а Вы уже сыпете комплиментами. Как только вы представите мне все ее значения скажем на [0,1] - я с удовольствием выпишу Вам её элементарный вид. Да, значения лучше бы все-таки в табличном виде Вы выписали.