Найти сумму ряда, используя ряды Фурье

[matan]

Задание:
Найти сумму ряда$\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{( - 1)^n n}} {{4n^2 + a^2 }}} \]$, используя ряды Фурье.
Насколько я понимаю нужно найти такую функцию, ряд Фурье которой "похож" на данный. В связи с этим
у меня возникает вопрос. Как найти такую функцию??(или где?? )

[Полосин]

Поэкспериментируйте с функциями вида $e^{bx}$.

[Alhimik]

Какое к этому ряду имеет отношение ряд Фурье? А не пробовали по старинке, путём составления n-частичной суммы?

[matan]

Alhimik в сообщении #223631 писал(а):

Какое к этому ряду имеет отношение ряд Фурье? А не пробовали по старинке, путём составления n-частичной суммы?

Задание у меня такое

[Бодигрим]

Alhimik в сообщении #223631 писал(а):

А не пробовали по старинке, путём составления n-частичной суммы?

Было бы интересно посмотреть на такое решение.

[matan]

Полосин в сообщении #223496 писал(а):

Поэкспериментируйте с функциями вида $e^{bx}$.

А можно конкретней, а то что-то я ничего не придумал?

[Gordmit]

Какое у Вас получилось разложение в ряд Фурье функции $e^{bx}$?
Есть смысл разложить эту функцию на $(0,h)$ только по синусам или только по косинусам.

[matan]

Gordmit в сообщении #223734 писал(а):

Какое у Вас получилось разложение в ряд Фурье функции $e^{bx}$?

$\[ \frac{2} {\pi }shb\pi (\frac{1} {{2b}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{( - 1)^n }} {{b^2 + n^2 }}(b\cos nx - n\sin nx))} \] $

[Gordmit]

Ну вот видите, уже похоже. А если только по синусам или только по косинусам на $(0,\pi)$?

[matan]

У меня получилось так:
по синусам $\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{8n}} {{\pi b^2 + 8n^2 }}\sin 2nx} \]$
по косинусам $\[ 1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{8n}} {{\pi b^2 - 8n^2 }}\cos 2nx} \]$

[ewert]

В знаменателе не может быть минуса. А если в тот ряд ещё чего и подставить...

[matan]

ewert в сообщении #223761 писал(а):

В знаменателе не может быть минуса

Пересчитал. У меня всеравно получается $-$ в знаменателе

ewert в сообщении #223761 писал(а):

А если в тот ряд ещё чего и подставить...

А что подставлять то?

[ewert]

Какой-нибудь подходящий икс подставлять.

А в знаменателе минуса никак не может получиться. Каким способом ни считай -- при интегрировании экспоненты совместно с синусом/косинусом вниз пойдёт обязательно именно сумма квадратов.

[matan]

Что-то я немогу понять как этот ряд$\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{( - 1)^n n}} {{4n^2 + a^2 }}} \]$
подогнать к этому$\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{8n}} {{\pi b^2 + 8n^2 }}\sin 2nx} \]$

[ewert]

К синусам -- вроде никак. А вот к косинусам -- запросто.