Центр масс неоднородного шара

[Бонифаций]

Известные параметры :
1. Наибольший и наименьший моменты инерции шара
2. Проекция центра масс на поверхность шара

Можно ли, и если можно, то как определить положения центра масс шара?

[meduza]

Бонифаций в сообщении #223316 писал(а):

2. Проекция центр масс на поверхность шара

Это как?

[Бонифаций]

Это след на поверхности шара от луча, соединяющего геометрический центр и центр масс

[meduza]

Бонифаций в сообщении #223316 писал(а):

Можно ли, и если можно, то как определить положения центра масс шара?

Можно. См. рис., на нем точка A - проекция центра масс на сферу (как ты описал в предыдущем посте). По теореме Штейнера ($I_z = I_c+mr^2$) наименьший момент инерции - $I_c$, относительно оси, проходящую через центр масс ($z_c$). Наибольший - относительно оси, наиболее удаленную от нее ($z_{max}$) и равный $I_{z_{max}}=I_c+mr^2$. Поскольку $I_c=I_{min}$ и $I_{max}$ даны, то можно найти $r$ - расстояние между осями $z_{max}$ и $z_c$, а следовательно и положение центра масс.


p.s. простите за рисунок, не умею рисовать в TeXe, пришлось набросать в xpaint'е

-- Пт июн 19, 2009 18:12:36 --

ой, лоханулся маленько, наименьший момент инерции наверно будет не через ось $z_c$, а через ось, проходящую через центр шара и центр масс шара (т.е. как бы ось $x$ на рисунке). Но суть решения от этого не изменится: находишь, где момент инерции минимален и максимален, а потом из теоремы Штейнера находишь расстояние мужду осями.

[Бонифаций]

Это я и так понял, проблема в нахождении оси, относительно которой момент инерции экстремален. Кроме того оси могут пересекаться или быть скрещивающимися, а тогдв расстояние ничего не дает

[meduza]

Бонифаций в сообщении #223364 писал(а):

проблема в нахождении оси, относительно которой момент инерции экстремален.

Наибольший будет относительно $z_{max}$, т. к. она проходит через наиболее удаленную от центра масс точку. Наименьший - относительно $x$.

[Андрей123]

А что известно про плотность?

[meduza]

Андрей123 в сообщении #223435 писал(а):

А что известно про плотность?

По-видимому ничего, да и, в принципе, не нужна она в этой задаче. Известен максимальный момент инерции и ось, относительно которой он берется ($z_{max}$). Известен минимальный момент и соответствующая ось ($x$), центр масс находится на этой оси, т.к. это является необходимым условием минимальности момента инерции. Известна точка A персечания луча OC с поверхностью шара (см. рис). Остается только найти связь между моментами $I_{z_{max}}$ и $I_x$, а следовательно и взаимное расположение соотв-х осей и задача будет решена. Нужно что-типа теоремы Штейнера, но не для параллельных осей.

[Бонифаций]

Насчет оси- лажа. Когда мы считаем координату центра масс и расстояние, и масса входят с первой степенью, а в моменте инерции масса- в первой, а расстояние- во второй.

Про плотность ничего неизвестно, иначе бы написал интеграл и посчитал в чем-нибудь

[meduza]

А можно взглянуть на численные данные? Может они специально подобраны, чтобы там все хорошо получилось. Это учебная задача?

[Бонифаций]

Нет, численных данных нет задача изначально такая: дан шар для боулинга, известны характеристики, которые дает производитель. Найти центр масс. Производитель дает массу шара и его наибольший и наименьший радиусы гирации(корень из отношения момента инерции к массе)

[meduza]

Бонифаций
Я не игрок в боулинг, но разве центр масс у этого шара не совпадает с его геометрическим центром? Тогда наим. и наиб. моменты инерции будут соответсвенно относительно оси, проходящей через центр шара ($y$, к примеру) и оси, касательной к шару ($z_{max}$, к примеру). Проверь, выполняется ли $I_{max} = I_{min} + mr^2$, где $m, r$ - масса и радиус шара. Если выполняется, то центр масс в центре шара. Или там дырки в шаре сильно влияют?

p.s. а зачем это вообще?

[Бонифаций]

Я тоже считал, что совпадает. Спросил. Сказали, что такие шары только для ламеров, которые берут их у боулинг-клуба

[meduza]

Ну раз это не учебная задача, то тебе, я думаю, не обязательно знать точные координаты центра масс. А его можно очень легко определить экспериментально. Для этого надо подвесить шар за разные точки; прямая от нити подвеса будет всегда проходить через центр масс. Подвесь шар за две любые точки (например за 2 наиболее удаленные "дырочки для пальцев") - и на пересечении прямых подвеса будет центр масс.



p.s. здесь что-то написано о расположении ц.м. в боулинговом шаре

[Бонифаций]

Так не получится