2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегральный синус от бесконечности
Сообщение21.06.2009, 23:42 
Аватара пользователя


30/05/09
121
Киев
Уважаемые математики, помогите, пожалуйста, разобраться почему
$\int\limits_0^{\infty} \frac {\sin x} x dx = \frac \pi 2$

Развернул подъинтегральную функцию в ряд Maclaurin и интегрировал уже степенные функции как, вдруг, вышел на ряд
$\int\limits_0^{\infty} \frac {\sin x} x dx = \lim\limits_{x \to \infty } \left (x - \frac {x^3} {3*3!} + \frac {x^5} {5*5!} - \frac {x^7} {7*7!} + ...+ (-1)^n \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)*(2n+1)!} \right ) $
сумму которого найти не так уж, как мне кажется, легко.
Что делать?
И, да, я перекрестился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус от бесконечности
Сообщение21.06.2009, 23:58 
Заслуженный участник


26/12/08
678
I способ: $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac1{2i}\int\limits_R\frac{e^{ix}}{x}dx=\frac{\pi}2 res_{z=0}\frac{e^{iz}}{z}=\frac{\pi}2$.
II способ: $I(\alpha)=\int\limits_0^{+\infty}e^{-\alpha x}\frac{\sin x}{x}dx$, $I'(\alpha)=...=\frac{-1}{1+\alpha^2}$, $I(+\infty)=0$, $I(+0)=\frac{\pi}2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус от бесконечности
Сообщение23.06.2009, 21:46 
Аватара пользователя


30/05/09
121
Киев
Если кто-нибудь что-то знает относительно второго способа - напишите! Please, por favor, пожалуйста. Есть мнение, что вначале необходимо взять производную по $\alpha$ , а затем интегрировать по частям. Однако все равно, ничегот толкового не выходит. Если это мнение верно, тогда напишитье какие именено необходимо выполнять замены и подстанвоки.
В общем напишите хоть что-нибудь.
Желатнельно, если способ будент находиться в области вещесатвенных функций (2-й способ) без соскакиваний на ТФКП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральный синус от бесконечности
Сообщение23.06.2009, 21:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alhimik в сообщении #224361 писал(а):
Есть мнение, что вначале необходимо взять производную по , а затем интегрировать по частям. Однако все равно, ничегот толкового не выходит. Если это мнение верно,

Какое именно мнение? Что ничего не выходит -- это неверно. Что надобно интегрировать по частям (причём дважды, с возвратом к тому же интегралу, но с другим коэффициентом) -- это верно.

Можно, кстати, и без интегрирования по частям, а просто выражением синуса через комплексные экспоненты, получается (особенно на полуоси) довольно просто. И, кстати, к ТФКП это не отнесёшь -- всего лишь формула Эйлера.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group