Есть мнение, что вначале необходимо взять производную по , а затем интегрировать по частям. Однако все равно, ничегот толкового не выходит. Если это мнение верно,
Какое именно мнение? Что ничего не выходит -- это неверно. Что надобно интегрировать по частям (причём дважды, с возвратом к тому же интегралу, но с другим коэффициентом) -- это верно.
Можно, кстати, и без интегрирования по частям, а просто выражением синуса через комплексные экспоненты, получается (особенно на полуоси) довольно просто. И, кстати, к ТФКП это не отнесёшь -- всего лишь формула Эйлера.