Интегральный синус от бесконечности

[Alhimik]

Уважаемые математики, помогите, пожалуйста, разобраться почему
$\int\limits_0^{\infty} \frac {\sin x} x dx = \frac \pi 2$

Развернул подъинтегральную функцию в ряд Maclaurin и интегрировал уже степенные функции как, вдруг, вышел на ряд
$\int\limits_0^{\infty} \frac {\sin x} x dx = \lim\limits_{x \to \infty } \left (x - \frac {x^3} {3*3!} + \frac {x^5} {5*5!} - \frac {x^7} {7*7!} + ...+ (-1)^n \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)*(2n+1)!} \right ) $
сумму которого найти не так уж, как мне кажется, легко.
Что делать?
И, да, я перекрестился.

[Полосин]

I способ: $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac1{2i}\int\limits_R\frac{e^{ix}}{x}dx=\frac{\pi}2 res_{z=0}\frac{e^{iz}}{z}=\frac{\pi}2$.
II способ: $I(\alpha)=\int\limits_0^{+\infty}e^{-\alpha x}\frac{\sin x}{x}dx$, $I'(\alpha)=...=\frac{-1}{1+\alpha^2}$, $I(+\infty)=0$, $I(+0)=\frac{\pi}2$.

[Alhimik]

Если кто-нибудь что-то знает относительно второго способа - напишите! Please, por favor, пожалуйста. Есть мнение, что вначале необходимо взять производную по $\alpha$ , а затем интегрировать по частям. Однако все равно, ничегот толкового не выходит. Если это мнение верно, тогда напишитье какие именено необходимо выполнять замены и подстанвоки.
В общем напишите хоть что-нибудь.
Желатнельно, если способ будент находиться в области вещесатвенных функций (2-й способ) без соскакиваний на ТФКП.

[ewert]

Alhimik в сообщении #224361 писал(а):

Есть мнение, что вначале необходимо взять производную по , а затем интегрировать по частям. Однако все равно, ничегот толкового не выходит. Если это мнение верно,

Какое именно мнение? Что ничего не выходит -- это неверно. Что надобно интегрировать по частям (причём дважды, с возвратом к тому же интегралу, но с другим коэффициентом) -- это верно.

Можно, кстати, и без интегрирования по частям, а просто выражением синуса через комплексные экспоненты, получается (особенно на полуоси) довольно просто. И, кстати, к ТФКП это не отнесёшь -- всего лишь формула Эйлера.