функциональная последовательность

[terminator-II]

ewert в сообщении #223279 писал(а):

Доказывайте отсутствие равномерной сходимости, ибо она здесь неправдоподобна: если отрезок замкнуть, то её заведомо не будет -- ввиду разрывности предельной функции.

вот это и есть решение, дальше можно было не писать

[apls]

извините, отвлекся. спасибо, что помогли разобраться.

[ewert]

terminator-II в сообщении #223301 писал(а):

вот это и есть решение, дальше можно было не писать

Э нет, не так всё просто. Из неравномерности сходимости на $[0;1]$ неравномерность на $(0;1)$ формально не следует, там надо как минимум ещё какие-то заклинания произносить, и даже лень думать какие.

[terminator-II]

ewert в сообщении #223306 писал(а):

terminator-II в сообщении #223301 писал(а):

вот это и есть решение, дальше можно было не писать

Э нет, не так всё просто. Из неравномерности сходимости на $[0;1]$ неравномерность на $(0;1)$ формально не следует, там надо как минимум ещё какие-то заклинания произносить, и даже лень думать какие.

Теорема Пусть последовательность функций $f_n(x)$ равномерно сходится на $(a,b)$ при этом существуют пределы $\lim_{x\to b-}f_n(x)$, тогда определены пределы $\lim_{x\to b-}\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ и $\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to b-}f_n(x)$ и

$$\lim_{x\to b-}\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to b-}f_n(x)$$

[apls]

2terminator-II: спасибо за заклинание. такой теоремы не знал.

[AD]

Проще всего заметить, что из равномерной сходимости на каждом из конечного числа множест в отдельности следует равномерная сходимость на объединении.

А сходимость на одноточечных множествах (в нашем случае - в концах отрезка) проверяется легко.

[ewert]

terminator-II в сообщении #223308 писал(а):

ewert в сообщении #223306 писал(а):

terminator-II в сообщении #223301 писал(а):

вот это и есть решение, дальше можно было не писать

Э нет, не так всё просто. Из неравномерности сходимости на $[0;1]$ неравномерность на $(0;1)$ формально не следует, там надо как минимум ещё какие-то заклинания произносить, и даже лень думать какие.

Теорема Пусть последовательность функций $f_n(x)$ равномерно сходится на $(a,b)$ при этом существуют пределы $\lim_{x\to b-}f_n(x)$, тогда определены пределы $\lim_{x\to b-}\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ и $\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to b-}f_n(x)$ и

$$\lim_{x\to b-}\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to b-}f_n(x)$$

Честно говоря, я такой теоремы не помню. Хотя она и верна, конечно. Более того. Если функции из последовательности непрерывны на некоем множестве $B$, и сходятся на нём неравномерно, то на любом подмножестве $A$, плотном в $B$, они будут сходиться тоже неравномерно.

(Между прочим, обращаю внимание: Вы силком вынудили меня на коленке сочинить и доказать эту теоремку. Я протестую против насилия над личностью! совершенно не обоснованной очевидностью исходной задачки.)

[id]

ewert
Вы не могли бы изложить набросок доказательства? ( не получается доказать без предположения о равномерной непрерывности функции на мн-ве А, доказывая от противного )

[ewert]

Ну примерно так. Равномерная сходимость эквивалентна равномерной фундаментальности. Отсутствие последней означает существование такого $c>0,$ что сколь угодно далеко найдётся пара номеров, для которой $\sup\limits_B|f_n(x)-f_m(x)|>c.$ Однако для каждой конкретной пары супремум достаточно брать по множеству $A$ -- в силу его плотности и непрерывности слагаемых.

[terminator-II]

я не могу отделаться от ощущения ,что это совершенно стандартный факт, который где-то написан: если последовательность непрерывных на $V$ функций сходится равномерно на плотном в $V$ подмножестве, то она сходится равномерно и на $V$.

[ewert]

Очень может быть, не помню. Но в этой задаче он неэстетичен, поскольку при всей своей простоте всё же заметно сложнее, чем сама задача.