вот это и есть решение, дальше можно было не писать
Э нет, не так всё просто. Из неравномерности сходимости на
![$[0;1]$ $[0;1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/a/21ad730ee7df0b97abd700cb0f8426e682.png)
неравномерность на

формально не следует, там надо как минимум ещё какие-то заклинания произносить, и даже лень думать какие.
Теорема Пусть последовательность функций

равномерно сходится на

при этом существуют пределы

, тогда определены пределы

и

и

Честно говоря, я такой теоремы не помню. Хотя она и верна, конечно. Более того. Если функции из последовательности непрерывны на некоем множестве

, и сходятся на нём неравномерно, то на любом подмножестве

, плотном в

, они будут сходиться тоже неравномерно.
(Между прочим, обращаю внимание: Вы силком вынудили меня на коленке сочинить и доказать эту теоремку. Я протестую против насилия над личностью! совершенно не обоснованной очевидностью исходной задачки.)