Связь между радиусами окружностей

[Алексей К.]

anermak,
ответьте пожалста на мой вопрос:

Алексей К. в сообщении #222731 писал(а):

у Вас, по-прежнему, центр О попадает с виду в точку пересечения диагоналей.
Может, это всегда так?

Варианты:
(1а) Да, всегда.
(1б) Да, и это очевидно.
(2а) Не знаю.
(2б) Пока не знаю.
(3) Нет, не всегда.

[MGM]

Будь моя воля, я бы танцевал от центральной.
Интуиция подсказывает, что в этом случае всё будет проще и нагляднее.
Будет время, поломаю голову.

[BVR]

anermak писал(а):

Посмотрите метод Феррари для ур-ий 4-ой степени, с заменой переменной.
Все тривиально, но громоздко...

Я знаю как решаются уравнения 4-й степени. Вы именно это попробуйте!
Кроме того, раз Вы начали тему, то надо было обозначить словами, что Ваш интерес к построению удовлетворён или исчерпан. Я ведь думал, что Вам непонятно. Ну, да ладно.
Я считаю, что реально найти общую формулу для радиуса, используя это общее уравнение не получится. Поэтому надо искать в принципе другой подход.

[Dimoniada]

Господа, поверьте, никакими хитрыми построениями/инверсиями/... (уже не раз упомянутое) ур-ние 4 степени на r Вы не "обманите". Сам пробовал. И личный опыт тоже подсказывает
Алексей. К, позвольте ответить - вариант (3)

[nn910]

Алексей К. в сообщении #222708 писал(а):

$(r+R_1)(r+R_2)[r^2+r(R_1+R_2)-R_1R_2]=0.$

-- 17 июн 2009, 11:15 --

Первые два корня понятны(?): пятая окружность совпадает с любой из данных. Все условия касания легко соблюсти.

-- 17 июн 2009, 11:21 --

Но почему же тогда такие корни не появились в неупрощённой задаче?

Потому что выражая cosы из теоремы, делили на $(r+R_1)(r+R_2)$и случай когда делитель =0 не смотрели.На $r^2$ при выводе двухфутовой формулы я тоже делил и не стыдно. Все вначале делалось для чисто внешних касаний ,и если уравнение 4й степени случайно отображает еще какие-то конфигурации, то точно не все возможные внутренние касания окружностей данных 4х радиусов.Например,континуум решений,когда все 5 касаются в одной точке. Внутренними касаниями я интересовался когда хотелось различать 4 корня уравнения 4й степени. Сейчас и так различаю
:

Цитата:

$$(1-\frac{d^2}{16c})r^4+ar^3+\frac{b}{2}r^2-c=0 $$

, Например если R_i не очень различны,старший коэффициент >0. Гарантирую тогда ровно один положительный корень не превышающий максимума R_i. Например $R_1=1, R_2=R_3=R_4=2$Находим $a=7,b=24,c=8,d=0$ Надо решить $r^4+7r^3+12r^2-8=0$Интересно что -2 корень, а -1 нет.Нужный корень 0,68

[Батороев]

В виду того, что комбинация из центральной окружности и четырех периферийных - конструкция взаимозаменяемая, то переставив периферийные окружности, например, по часовой стрелке в порядке возрастания радиусов, получаем, что соотношение этих радиусов должно подчиняться уравнению некой спиральной линии.
Дальше рассуждать лень - пятница!

-- Пт июн 19, 2009 20:38:26 --

И это, вроде бы, должно быть справедливо не только для пяти окружностей.

[Алексей К.]

Dimoniada в сообщении #223351 писал(а):

Алексей. К, позвольте ответить - вариант (3)

Мерси. (А с центром вписанной окружности? )

Некую замену уравнению 4-й степени (раз уж оно людям так не нравится) я бы поискал
(и может поищу) либо в терминах окружности, вписанной в ABCD;
либо вместо $r$ попытаться выразить $\alpha=\frac12\angle DAB$ (угол однозначно определяет искомую деформацию 4-угольника.

-- 19 июн 2009, 20:05 --

Батороев в сообщении #223358 писал(а):

В виду того, что комбинация из центральной окружности и четырех периферийных - конструкция взаимозаменяемая...

Не верю! Посмотрите внимательнее --- общая касательная пары не проходит через центр.

Батороев в сообщении #223358 писал(а):

Дальше рассуждать лень - пятница!

Верю.

[nn910]

Батороев в сообщении #223358 писал(а):

В виду того, что комбинация из центральной окружности и четырех периферийных - конструкция взаимозаменяемая, то переставив периферийные окружности, например, по часовой стрелке в порядке возрастания радиусов, получаем, что соотношение этих радиусов должно подчиняться уравнению некой спиральной линии.
Дальше рассуждать лень - пятница!

-- Пт июн 19, 2009 20:38:26 --

И это, вроде бы, должно быть справедливо не только для пяти окружностей.

Действительно,не изменяя ответа задачи можно переставлять данные 4 числа циклически, а также менять порядок на противоположный. Но никакой комбинацией этих действий Вы не получите из данных 4 радиусов {1,2,4,3} возрастающую последовательность. Задачи с {1,2,4,3} и {1,2,3,4} разные и ответы у них разные. Уравнения для них

$$\dfrac{125}{128}r^4+14r^3+\dfrac{45}{2}r^2-24=0$$

и

$$\dfrac{23}{24}r^4+14r^3+23r^2-24=0$$

соответственно.

[anermak]

Алексей К. в сообщении #223229 писал(а):

anermak,
Может, это всегда так?
.

Нет, они совпадают только у ромбов...

BVR в сообщении #223290 писал(а):

Я знаю как решаются уравнения 4-й степени.

Тогда формулируйте вопросы правильно, что бы путаницы не было, из Вашего предыдущего поста можно подумать обратное...без обид

BVR в сообщении #223290 писал(а):

Ваш интерес к построению удовлетворён или исчерпан

Нет, не удовлетворен и не исчерпан, так как толкового прикладного решения еще никто не предложил.

BVR в сообщении #223290 писал(а):

Вы именно это попробуйте!

Да пробовал уже и не раз, и даже упростил приведя к более или менее симметричному виду рассматривал, сначала косинусы $x_i/2$, а после косинусы $x_i$ и получил два равенства

дальше рассм. сумму квадратов обеих частей ур-ия и получил

упрощая получаем аккуратное ур-е 4-й степени

Проверка выдает решения для ромба, да и вообще так удобнее, для частных решений.
Но даже при классической замене на

нахождение общей формулы, в более или менее приемлемом виде немыслимо.... Частные случаи пожалуйста, сколько угодно, но общем случае можете не пытаться...

BVR в сообщении #223290 писал(а):

Я ведь думал, что Вам непонятно.

А мне и было непонятно, все пришло в процессе дискуссии и благодаря идеям с рассмотрением системы ур-ий с избавлением от центральных углов..

-- Сб июн 20, 2009 13:50:04 --

Алексей К. в сообщении #223229 писал(а):

anermak,
ответьте пожалста на мой вопрос:
Может, это всегда так?

Рассматривая косинусы вертикальных центральных углов, равенства легко упрощаются до $R_2R_3=R_1R_4$, для другого угла получаем
$R_2R_1=R_3R_4$ , откуда и вытекает, что $R_1=R_3$, а $R_2=R_4$, то есть центр внутренней окружности лежит на точке пересечения диагоналей только тогда, когда центры боковых окружностей находятся в вершинах ромба....

[Батороев]

Алексей К. в сообщении #223383 писал(а):

Батороев в сообщении #223358 писал(а):

В виду того, что комбинация из центральной окружности и четырех периферийных - конструкция взаимозаменяемая...

Не верю! Посмотрите внимательнее --- общая касательная пары не проходит через центр.

Не уловил Вашу мысль. Касательные окружностей пройдут через центр центральной окружности только в случае равенства радиусов всех периферийных.
Пользуясь случаем, уточню по поводу Вашего вопроса, прозвучавшего ранее.
Линии, соединяющие центр вписанной в четырехугольник (образованный центрами периферийных) окружности являются биссектрисами углов четырехугольника.
Следовательно, не всегда могут являться диагоналями четырехугольника, а только при ромбах и квадратах.
Кстати, картинки в постах не очень удачные, т.к. центр центральной окружности и центр вписанной в четырехугольник окружностей не обязательно совпадают.

nn910 в сообщении #223469 писал(а):

Действительно,не изменяя ответа задачи можно переставлять данные 4 числа циклически, а также менять порядок на противоположный. Но никакой комбинацией этих действий Вы не получите из данных 4 радиусов {1,2,4,3} возрастающую последовательность. Задачи с {1,2,4,3} и {1,2,3,4} разные и ответы у них разные. Уравнения для них

$$\dfrac{29}{32}r^4+14r^3+\dfrac{45}{2}r^2-24=0$$

и

$$\dfrac{5}{6}r^4+14r^3+23r^2-24=0$$

соответственно.

Против формул не попрешь. Смущает только то, что при составлении уравнения ранее Вами использовались только индексы радиусов, а теперь появились разные значения коэффициентов.
Может, я просто не уловил этот переход?

-- Сб июн 20, 2009 17:09:47 --

anermak в сообщении #222722 писал(а):

Теор.2

..... Когда такое касание существует, тогда выполняется следующее равенство, где $S_1, S_2, S_3, S_4$ площади треугольников, образованные центрами окружностей (см.рис.)

$ S_1+S_3=S_2+S_4 $ (в случае, если $O$ также является и центром вписанной в четырехугольник окружности).

[maxal]

anermak, предупреждение за неправильное оформление формул. Формулы должны оформляться при помощи тега math.

[Алексей К.]

Батороев в сообщении #223505 писал(а):

Алексей К. в сообщении #223383 писал(а):

Не верю! Посмотрите внимательнее --- общая касательная пары не проходит через центр.

Не уловил Вашу мысль.

Может, я не уловил Вашу --- о взаимозаменяемости.
Я имел в виду, что если последовательность попарно касающихся окружностей ABCD(A) (вокруг окружности О) выстроить в другом порядке, например, возрастания радиусов --- BCAD--(B), то касание последней и первой уже будет нарушено. Пример --- переставьте окружности

$$\begin{picture}(120,50)(0,10) \put(0,0){\line(1,0){120}} \put(58,-10){B} \put(0,40){\line(1,0){120}} \put(48,42){D} \put(20,20){\circle{40}}\put(18,15){A} \put(100,20){\circle{40}}\put(98,15){C} \linethickness{6pt} \put(60,20){\circle{40}}\put(58,15){O} \end{picture} $$

(B и D я с Вашего позволения выродил в прямые. Подправить в уме на $\varepsilon$ несложно.

[Батороев]

Как справедливо отметил nn910, для упорядочения по величине периферийных радиусов достаточно переставить между собой лишь две окружности (остальные варианты перестановок будут повторением данной).
При такой перестановке изменяются касания окружностей в двух местах. Как мне представляется, одно изменение компенсирует изменение другого.

[Алексей К.]

$\begin{picture}(120,50)(0,-50) \put(0,0){\line(1,0){120}} \put(58,-10){B} \put(0,40){\line(1,0){120}} \put(48,42){D} \put(20,20){\circle{40}}\put(18,15){A} \put(100,20){\circle{40}}\put(98,15){C} \color{red} \put(60,20){\circle{40}}\put(58,15){O} \put(10,-45}{.} \end{picture}$$\begin{picture}(120,50)(0,10) \put(0,40){\line(1,0){120}} \put(48,42){D} \put(20,20){\circle{40}}\put(18,15){A} \put(40,-15){\circle{40}}\put(40,-15){C} \put(72,0){\line(3,5){30}}\put(75,-10){B} \put(72,0){\line(-3,-5){20}} \color{red} \put(60,20){\circle{40}}\put(58,15){O} \end{picture} $
Переставил В и С (ABCD$\to$ACBD). Теперь соседние В и D уже не касаются. (То, что Вам кажется прямыми --- на самом деле окружности огромного радиуса, для простоты расчёта рисунка).

[Батороев]

Теперь понял Ваши объяснения!
Жаль!!! Балдежная идейка была.
Может рассмотреть тогда с точки зрения двух спиралей.
Для случая, когда вокруг одной окружности расположены три периферийные, то там наверняка, все связано с уравнением спирали.
Хотя думать неохота - суббота!!!