Помогите решить задачу. Пространство.

[Elizaveta_30]

1.В пространстве дано n точек, через каждые 3 из которых проведена плоскость. На какое наибольшее число частей может быть при этом разбито пространство?

2. Натуральное число n дает остаток 5 при делении на 9. Доказать неравенство:
{корень кубический из n} больше или равно 1/корень кубический из n в квадрате.
(фигурные скобки означают дробную часть числа)

Очень нужно, никак не могу решить ни сама, ни с чужой помощью. Посоветовали ваш форум, надеюсь на Вас.
Заранее спасибо.

[meduza]

Elizaveta_30 в сообщении #223354 писал(а):

1.В пространстве дано n точек, через каждые 3 из которых проведена плоскость. На какое наибольшее число частей может быть при этом разбито пространство?

Вспоминается первая глава из "Конкретной математики", может быть стоит попробовать аналогичными методами решить?

p.s. полное название: "Конкретная математика: основания информатики", Грэхем, Кнут, Поташник.

[ИСН]

Первая: сначала находим, сколько там плоскостей. Вторая: сводится к вопросу о ближайшем целом кубе.

[vlad239]

Вторая задача была в этом году на питерской олимпиаде. На районном, кажется, туре.

Влад.

[jetyb]

Сначало находим максимальное число областей, на которые n прямых делят плоскость. Предположим, что n-1 прямых уже есть, следующую надо провести непараллельно им. Она увеличит число областей на n. Отсюда можно найти количество областей от прямых (x(n)):
x(1)=2
x(n)-x(n-1)=n
x(n)=$\frac{n^2+n+2}{2}$
Теперь посчитаем максимальное число областей, на которые n плоскостей делят пространство. Аналогично если проведено n-1 плоскостей, то n-ая пересекает каждую по прямой, и эти n-1 прямые разбивают новую плоскость на x(n-1) частей. А каждая из этих частей плоскости делит некоторую ранее обрезанную область пространства на две части, число областей увеличивается на x(n-1).
y(1)=2
y(n)-y(n-1)=x(n-1)
$y(n)=\frac{n^3+5n+6}{2}$
n точек дают $C_n^3$ плоскостей и $y\left(C_n^3\right)$ областей.

А условие второй задачи я так и не понял.

[Полосин]

Решение второй задачи.
Пусть $m=3s+l$, где $l=0, 1$ или $2$. Всякое число $n$ представимо в виде $n=m^3+r$. Поскольку $n=9k+5$, то, находя $m^3$, убеждаемся, что $l^3+r-5$ должно нацело делиться на $9$. Ясно, что можно считать $0\le r\le8$ (остальные случаи приводят к тому же неравенству, см. ниже). Перебирая все возможные случаи, находим все три возможных варианта: $l=0, r=5$; $l=1, r=4$; $l=2, r=6$. Находя дробную часть, получаем, что задача сводится к доказательству неравенства $m(1+rm^{-3})^{1/3}-m\ge(m^3+r)^{-2/3}$, или $1+(r-1)m^{-3}\ge(1+rm^{-3})^{2/3}$. Приводя к натуральным степеням, получаем неравенство $(r-3)m^{-3}+(2r^2-6r+3)m^{-6}+(r-1)^3m^{-27}\ge0$, очевидно, верное при $r=4,5,6$.

[Elizaveta_30]

Спасибо Вам огромное, в среду отнесу преподавателю, надеюсь тут все верно, а то это очень важно. еще раз вам большое всем спасибо

[Alhimik]

Если я правильно понял неравенство второй задачи $\sqrt[3]{n} \geqslant \frac 1 {\sqrt[3] {n^2}}$, где n - натурально число (явно не отрицательное), тогда
$\sqrt[3] {n} * \sqrt [3] {n^2} \geqslant 1$

$n^{\frac 1 3} * n^{\frac 2 3 } \geqslant 1$
$n \geqslant 1$ Что действительно справедливо вообще для всякого натурального числа.

[VAL]

jetyb в сообщении #223380 писал(а):

А условие второй задачи я так и не понял.

И я тоже. Независимо от того, к чему относится последнее "в квадрате", требуется доказать, что число, большее 1, не меньше числа, меньшего 1.
Как-то не тянет на олимпиадную задачку...
Объясните в чем секрет: шесть раз перечитал, другого толкования условия не нашел!

[ИСН]

Там фигурные скобочки означают дробную часть числа.

[VAL]

ИСН в сообщении #223438 писал(а):

Там фигурные скобочки означают дробную часть числа.

Спасибо!
Как же правы были модераторы, требуя пользоваться LaTeX'ом

[Elizaveta_30]

Полосин в сообщении #223391 писал(а):

Решение второй задачи.
Пусть $m=3s+l$, где $l=0, 1$ или $2$. Всякое число $n$ представимо в виде $n=m^3+r$.

А что такое m и откуда оно берется? И почему каждое число n так можно представить?

ИСН в сообщении #223438 писал(а):

Там фигурные скобочки означают дробную часть числа.

Вы правы. Просто так и не поняла как пользоваться тегом "math"

[MGM]

meduza в сообщении #223361 писал(а):

"Конкретная математика: основания информатики", Грэхем, Кнут, Поташник.

Помню, читал ещё на английском.
Очень полезная книжка, отрезвляет после чтения тем посвящённых исчислению предикатов.