Дискретное пространство и время

[zahary]

Xaositect в сообщении #221581 писал(а):

Так дело в том, что эталонные отрезки - это не "отрезки одинаковой длины", это "конгруэнтные отрезки", одинаковые.

В аксиоматике геометрии иногда понятие длины оставляют без определения

То есть, понятие "длина" с этими сколь угодно малыми отрезками и бесконечной записью чисел -
это основное, базовое понятие?

Мне как-то не хочется в это верить.

Мне кажется, что сложные понятия должны быть вторичными.
То есть, изначально этих понятий нет, они появляются в результате анализа неких первичных простейших процессов.

[arseniiv]

zahary писал(а):

Мне как-то не хочется в это верить.

Не хочется - не верьте, ради Бога! Никто вас не заставляет.

zahary писал(а):

Мне кажется, что сложные понятия должны быть вторичными.
То есть, изначально этих понятий нет, они появляются в результате анализа неких первичных простейших процессов.

Это вам так кажется. А на самом деле "сложность" относительна. Вот я захочу, например, и вместо аксиомы параллельности прямых буду использовать аксиому "в треугольнике сумма углов равна $\pi$". Тогда формула суммы углов в n-угольнике станет очевидной, в то время как при использовании первой аксиомы ещё надо было доказать, что сумма углов в треугольнике такова. А если я эту теорему превращу в аксиому, то аксиома параллельности станет теоремой, и её надо будет доказать.

Не может быть что-то "сложным" просто так. Оно сложно относительно чего-нибудь другого. А то другое никому не обязано быть абсолютом.

-- Пт июн 12, 2009 20:15:35 --

Вот, например, интересная аксиоматика геометрии, жаль, русского варианта в интернете нигде нету. Там понятие длины базовое. И всего 4 постулата. Но ещё как базовое используется понятие действительных чисел.
Я всё собирался как-нибудь вывести из этих постулатов (т.к. эти наборы эквивалентны) "стандартные" аксиомы Евклидовой геометрии, да пока не собрался.

А вот чтобы, например, вывести действительные числа из теории множеств, нужно очень потрудиться. А в данной аксиоматике это понятие используется как базовое. Теперь сложно сказать, что же "сложное", а что - нет, не так ли?

[zahary]

arseniiv в сообщении #221607 писал(а):

Не может быть что-то "сложным" просто так. Оно сложно относительно чего-нибудь другого. А то другое никому не обязано быть абсолютом.

Но ведь именно это и обсуждалось в данной теме.

В дискретной математике конечное число описывается конечным количеством информации, а в непрерывной математике - бесконечным.

В непрерывной математике существуют сколь угодно малые отрезки, внутри которых функции (в общем случае) могут вести себя как угодно -
то есть, не быть аналитическими, и опять-таки описываться бесконечным количеством информации.

С этой точки зрения дискретная математика проще непрерывной.

Было бы логичным, если бы в физике (не знаю, как в математике) первичными были дискретные величины.

-- Вт июн 16, 2009 12:04:32 --

Xaositect в сообщении #221157 писал(а):

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Угол - это количество ЧЕГО?
Количество прямых линий, пересекающихся в одной точке?

Если уж лезем в определения, то угол - это геометрическая фигура.
А мера угла - это длина дуги, высекаемой этим углом на окружности с центром в вершине угла, измеренная в радиусах этой окружности. Как в этом знчке: $\measuredangle$

Мне бы ещё понять, что такое окружность

Xaositect в сообщении #221157 писал(а):

zahary в сообщении #221130 писал(а):

Единственное, что можно сказать определённо: угол - это нечто повторяющееся (периодическое).

Этого вообще не понял.

Да и я, честно говоря, не понял

Для длины можно найти хоть какое-то простое определение (количество точек).

Для угла я простого определения не вижу.

То есть, понятие "угол" - сложное по сути.
А значит - вторичное.

Единственное, что я могу определенно сказать об угле - что это периодическая величина (пройдя угол в 360 градусов, мы увидим ту же картину).

Естественно предположить, что это вторичное понятие возникает из периодичности неких первичных процессов.

[Xaositect]

zahary в сообщении #222502 писал(а):

Мне бы ещё понять, что такое окружность

Окружность - множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной (называемой центром).
Таким образом, понятие меры угла определяется из понятия длины. Да, в некотором смысле оно вторично.

[arseniiv]

Нету никаких "первичных процессов"! Нету! Есть аксиоматики, определения, теории, символы, цифорки и много чего другого.

Я думаю, вы, zahary, моё сообщение попросту не поняли

[zahary]

arseniiv в сообщении #222543 писал(а):

Нету никаких "первичных процессов"! Нету! Есть аксиоматики, определения, теории, символы, цифорки и много чего другого.

Но почему не предположить, что первичные процессы есть - не в математике, а в физике...

(Например, что мешает нам считать движение молекул первичным, а тепловые явления - вторичными?)

[arseniiv]

Мешает то, что в молекулах движутся атомы, а в атомах - электроны и протоны с нейтронами, а в протонах и нейтронах - кварки...
Я же говорю. Первичность-простота относительна!

[zahary]

arseniiv в сообщении #222591 писал(а):

Мешает то, что в молекулах движутся атомы, а в атомах - электроны и протоны с нейтронами, а в протонах и нейтронах - кварки...
Я же говорю. Первичность-простота относительна!

Однако...

Когда физики предположили, что все тепловые явления определяются движением молекул, они получили неплохие результаты

[raf]

Можно сформулировать парадокс Зенона следующим образом:

Ахиллес перегонит черепаху в том и только в том случае, если либо пространство, либо время непрерывны. Т.е. если не существуют минимальные отрезки либо пространства, либо времени.

Предположим противное, т.е. что существуют минимальные отрезки и пространства и времени. Для простоты допустим, что скорость Ахиллеса на 10 процентов больше чем скорость черепахи. За минимальный отрезок времени, который одинаков для Ахиллеса и черепахи, каждый из них либо стоит, либо продвигается на минимальный отрезок пространства, который одинаков для Ахиллеса и черепахи. Значит их скорость одинакова. Случай с системой управления, которая помнит через сколько интервалов задержать черепаху на один интервал, исключается.

Мы получили противоречие.

[Xaositect]

raf в сообщении #223187 писал(а):

Мы получили противоречие.

Бред какой-то.
Такой "системой управления" вполне могут быть законы физики.
см. клеточные автоматы и моделирование некоторых физических процессов с их помощью.

[zahary]

raf в сообщении #223187 писал(а):

Можно сформулировать парадокс Зенона следующим образом:

Ахиллес перегонит черепаху в том и только в том случае, если либо пространство, либо время непрерывны. Т.е. если не существуют минимальные отрезки либо пространства, либо времени.

Предположим противное, т.е. что существуют минимальные отрезки и пространства и времени. Для простоты допустим, что скорость Ахиллеса на 10 процентов больше чем скорость черепахи. За минимальный отрезок времени, который одинаков для Ахиллеса и черепахи, каждый из них либо стоит, либо продвигается на минимальный отрезок пространства, который одинаков для Ахиллеса и черепахи. Значит их скорость одинакова. Случай с системой управления, которая помнит через сколько интервалов задержать черепаху на один интервал, исключается.

Мы получили противоречие.

Допустим, Ахиллес в среднем продвигается на одну точку вперёд за сто моментов времени.

А черепаха в среднем продвигается на одну точку вперёд за сто десять моментов времени.

(Слово "точка" можно заменить словами "минимальный отрезок".)

В чём же здесь противоречие?


(А луч света, видимо, продвигается на точку вперед за один момент времени.)

[igorelki]

raf в сообщении #223187 писал(а):

Можно сформулировать парадокс Зенона следующим образом:

Ахиллес перегонит черепаху в том и только в том случае, если либо пространство, либо время непрерывны. Т.е. если не существуют минимальные отрезки либо пространства, либо времени.

Предположим противное, т.е. что существуют минимальные отрезки и пространства и времени. Для простоты допустим, что скорость Ахиллеса на 10 процентов больше чем скорость черепахи. За минимальный отрезок времени, который одинаков для Ахиллеса и черепахи, каждый из них либо стоит, либо продвигается на минимальный отрезок пространства, который одинаков для Ахиллеса и черепахи. Значит их скорость одинакова. Случай с системой управления, которая помнит через сколько интервалов задержать черепаху на один интервал, исключается.

Стремление в ноль по одной координате не означает этого стремления по другой. Т. е. сокращение по расстоянию не означает по времени для черепахи и бегуна ничего.

[raf]

Xaositest, “Бред какой-то.
Такой "системой управления" вполне могут быть законы физики.
см. клеточные автоматы и моделирование некоторых физических процессов с их помощью.”
ПО СУЩЕСТВУ: Вы полагаете, что каждый процесс в природе управляется некоторым автоматом.
ПО ФОРМЕ: После слов «Бред какой-то» нужно двоеточие. Подходит ли слово БРЕД к тексту, следующему за двоеточием, Вам решать. Для форума не очень.

Zahary, По Вашему, все скорости в природе строго кратны. А как скорость света в разных средах, если в вакууме один интервал?

Igorelki, Извините, не понял и не могу комментировать.

[igorelki]

raf в сообщении #223576 писал(а):

Igorelki, Извините, не понял и не могу комментировать.

Ахиллес и черепаха. Смысл парадокса: уменьшая расстояние, пройденное черепахой, говорится, что Ахиллес никогда не догонит черепаху. Я же пояснил, что стемление в ноль по одной координате - расстоянию не влияет на другую координату - время.

[arseniiv]

raf, свет в среде движется с меньшей скоростью, потому что взаимодействует с веществом. А отдельные фотоны так же движутся со скоростью света в вакууме, между испусканиями и поглощениями