Список вездесущих математических конструкций

[Свободный Художник]

luitzen в сообщении #221472 писал(а):

Можно ли назвать «конструкцией» — транзитивность же назвали — замкнутость относительно операций?

Наверное, более естественно “замкнутость относительно операций” назвать “свойством”.
Ну, так что же, никто нам не мешает наряду с вездесущими конструкциями рассмотреть также вездесущие свойства (таких конструкций) и вездесущие методы, приводящие к таким конструкциям.

Например, берем абсолютно произвольное бинарное отношение. Применяем к нему вездесущий метод, выявленный Xaositect:

epros в сообщении #221105 писал(а):

luitzen в сообщении #221045 писал(а):

Вот транзитивность я бы назвал «хорошим свойством» или как-то так.

Интересно, а почему? Вот я возьму на вскидку пример из достаточно простого и весьма широко используемого предмета - арифметики Пеано. Какое наиболее простое бинарное отношение может быть определено для натуральных чисел? Конечно же - отношение "предшествует". Увы, никакой транзитивности Наверное, это "нехорошо"? С другой стороны, имеется транзитивное отношение "меньше". Но оно почему-то наводит на подозрения, что его определение специально ввели таким образом, чтобы отношение получилось транзитивным...

Xaositect в сообщении #221125 писал(а):

Вот мы и выявили вездесущую конструкцию - транзитивное замыкание.

(только давайте его немного обобщим до “рефлексивно-транзитивного замыкания”.

В результате получаем некоторый квазипорядок (рефлексивное и транзитивное отношение). Если рассмотреть его как один из примеров алгебраической системы, известной под названием “категория”
http://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
то мы как раз и достигаем вездесущего свойства, выявленного luitzen для алгебраических систем: их замкнутости относительно операций (в данном случае это будет замкнутость относительно операции композиции морфизмов).

[Xaositect]

Есть, кстати, еще одна на мой взгляд столь же важная конструкция - конструкция фактор-множества по отношению эквивалентности, иными словами, отождествление эквивалентных элементов.

[Свободный Художник]

Ну, да. В принципе, в разряд вездесущего можно занести, наверное, все, что находится в “топе” теории множеств.
Я вижу, что односторонне прочитал Ваш пост:

Свободный Художник в сообщении #221084 писал(а):

Xaositect в сообщении #220992 писал(а):

А универсальная алгебра и теория категорий не чем-то подобным занимаются?

Мне кажется, что универсальная алгебра занимает нейтральную позицию по рассматриваемому вопросу.
Для нее одинаково любимыми являются и многообразие групп и многообразие каких-то совершенно диких алгебраических систем с единственной 17-ти арной операцией.
Но мы-то знаем, что группы вездесущнее.

Ведь если принять во внимание, что конструкции универсальной алгебры: подалгебры, конгруэнции, гомоморфизмы, прямые произведения и т. д. были в свое время абстрагированы от соответствующих конструкций уже весьма вездесущих структур, то сами эти конструкции универсальной алгебры следует тогда считать “вездесущими в квадрате”.

Вообще, “вездесущего” может набраться изрядно. Надо бы частично упорядочить его по “степени вездесущности”.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #221825 писал(а):

А как же семантика? Разве не сопровождает всегда формальную теорию некоторая семантика?

С моей точки зрения семантика - вне математики. То бишь, это некая неопределённая философская составляющая, которую мы полагаем "стоящей за" математическими конструкциями (и не исключено, что полагаем все по-разному). Но как только мы, пытаясь достичь однозначности понимания, эту составляющую формализуем, так она немедленно превращается в "синтаксис". Пример таковой формализации - семантические сети.

Но в формальном смысле теория - это только то, что мы видим, т.е. значки на бумаге.

Свободный Художник в сообщении #221825 писал(а):

Вообще, “вездесущего” может набраться изрядно. Надо бы частично упорядочить его по “степени вездесущности”.

Это зависит от Вашей аксиоматики. Доказать существование "транзитивного замыкания" тоже можно только с позиции определённой аксиоматики. Нет её - так и не докажете...

Так что я бы не стал абсолютизировать "изрядное" количество математических конструкций.

[STilda]

Самая ведесущая конструкция это группа (+) * (+) = (+), (-) * (-) = (+), (-) * (+) = (-).
А еще вездесущей это группа Е*Е=Е, тобишь понятие Единица.

[Свободный Художник]

Можно еще сказать, что вездесущими являются неопределяемые понятия, положенные в основу “супертеорий”. Таких, например, как теория множеств (т. е. это будет отношение принадлежности).
Две других “супертеории”, осмелившиеся бросить вызов теории множеств: теория категорий и лямбда-исчисление, тоже имеют свои неопределяемые понятия (операцию композиции и операцию аппликации, соответственно).

Таким образом, неопределяемые понятия “супертеорий” (отношение принадлежности, операцию композиции и операцию аппликации) следует считать, по-видимому, весьма вездесущими.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #222463 писал(а):

Можно еще сказать, что вездесущими являются неопределяемые понятия, положенные в основу “супертеорий”. Таких, например, как теория множеств (т. е. это будет отношение принадлежности).
Две других “супертеории”, осмелившиеся бросить вызов теории множеств: теория категорий и лямбда-исчисление, тоже имеют свои неопределяемые понятия (операцию композиции и операцию аппликации, соответственно).

Таким образом, неопределяемые понятия “супертеорий” (отношение принадлежности, операцию композиции и операцию аппликации) следует считать, по-видимому, весьма вездесущими.

Вы явно ослабляете требования к "вездесущности". Сам факт, что некто "осмелился бросить вызов" супертеории свидетельствует о том, что её понятия не такие уж вездесущие. Даже логические тавтологии (типа закона исключённого третьего) или синтаксические понятия (типа кванторов) могут быть оспорены. А уж они-то, по-моему, повездесущнее каких-то множеств будут.

[STilda]

Цитата:

Таким образом, неопределяемые понятия “супертеорий” (отношение принадлежности, операцию композиции и операцию аппликации) следует считать, по-видимому, весьма вездесущими.

Объединяется под одно вездесущее понятие Операции (Взаимодействия).
Вот еще подход: какие характеристики наблюдаемого являются наиболее вездесущими? А те, которые привносятся свойствами инструмента наблюдения. От них уж точно никуда не деться. Тогда дальше, каким инструментом сотворена наша математика? Нашим умом, логическим мышлением. Вывод такой, что математика не может содержать противоречащие уму вещи . Самыми вездесущими конструкциями в математике будут те, которые отображают свойства ума.

[Свободный Художник]

STilda в сообщении #222705 писал(а):

Самыми вездесущими конструкциями в математике будут те, которые отображают свойства ума.

В этой связи вспомнилась “генетическая эпистемология” Жана Пиаже.
http://www.psychology.ru/whoswho/Jean_Piaget.stm
http://psylib.org.ua/books/obuhl01/txt05.htm#4

Если предположить, что “свойства ума” описываются введенными им “группировками”, то тогда группы просто обязаны быть вездесущими. Ведь они отображают “свойства ума”!

[epros]

Свободный Художник в сообщении #222936 писал(а):

http://psylib.org.ua/books/obuhl01/txt05.htm#4

А-аа, я понял откуда Вы почерпнули интерес к транзитивности.

[Свободный Художник]

Нет, не отсюда.
Просто в одной своей очень давной статье:
http://www.px-pict.com/9/6/2/5/1/2.html
пытался показать, что вся аристотелевская силлогистика вытекает из одной только транзитивности. А ведь это, между прочим, самая первая система логики.
http://en.wikipedia.org/wiki/Syllogism

[epros]

Свободный Художник в сообщении #223183 писал(а):

в одной своей очень давной статье:
http://www.px-pict.com/9/6/2/5/1/2.html
пытался показать, что вся аристотелевская силлогистика вытекает из одной только транзитивности. А ведь это, между прочим, самая первая система логики.
http://en.wikipedia.org/wiki/Syllogism

Всё равно, я бы не стал обожествлять транзитивность. Кстати, Пиаже очень наглядно демонстрирует, что это сконструированное понятие, которым пользуются в своих интересах взрослые, а в детской логике оно отсутствует. Ребёнок не в состоянии понять, что $1 < 3$, даже зная, что $1 < 2$ и $2 < 3$. И это не потому что он "глупый". Он просто ещё не знает, что взрослые намеренно сконструировали отношение "меньше" таким образом, чтобы оно было транзитивным.

[luitzen]

Свободный Художник в сообщении #223183 писал(а):

Просто в одной своей очень давной статье:
http://www.px-pict.com/9/6/2/5/1/2.html
пытался показать, что вся аристотелевская силлогистика вытекает из одной только транзитивности.

У меня сейчас нет под рукой «Первой аналитики», но боюсь, что там встречается пассаж по типу следующего:

Аристотель примерно так писал(а):

Если Α сказывается о Β, и Β сказывается о Γ, то Α сказывается о Γ.

Не могу проверить, насколько центральную роль играло это положение у самого Аристотеля, но когда-то впоследствии оно получило название «аксиомы силлогизма», из которой как-то «следовали» правила терминов, посылок и фигур.

Врочем, думаю, Вы в курсе, и просто хотели как-то формализовать всё это.

~~~~

Кстати, это моё сообщение кажется относящимся к теме. Там упоминается одно отношение, которое хотелось бы иметь, и иметь транзитивным .

[Свободный Художник]

epros в сообщении #223250 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #223183 писал(а):

в одной своей очень давной статье:
http://www.px-pict.com/9/6/2/5/1/2.html
пытался показать, что вся аристотелевская силлогистика вытекает из одной только транзитивности. А ведь это, между прочим, самая первая система логики.
http://en.wikipedia.org/wiki/Syllogism

Всё равно, я бы не стал обожествлять транзитивность.

Помимо транзитивности там еще доказывается, что множество всех силлогизмов (двухпосылочных тезисов аристотелевской логики) естественно образует "хорошую" алгебраическую систему, а именно -- полугруппу.
То, что получающийся там группоид является ассоциативным -- не такой уж тривиальный факт.

А полугруппа, как мы установили, -- это еще одна вездесущая конструкция.
Т. е., и в силлогистике она непостижимым образом проявилась (в статье, правда, речь идет не о собственно аристотелевской силлогистике, а о так называемой "жергоновой силлогистике" -- но они очень тесно связаны и естественным образом транслируются друг в друга).

[Свободный Художник]

epros в сообщении #223250 писал(а):

Всё равно, я бы не стал обожествлять транзитивность. Кстати, Пиаже очень наглядно демонстрирует, что это сконструированное понятие, которым пользуются в своих интересах взрослые, а в детской логике оно отсутствует. Ребёнок не в состоянии понять, что $1 < 3$, даже зная, что $1 < 2$ и $2 < 3$. И это не потому что он "глупый". Он просто ещё не знает, что взрослые намеренно сконструировали отношение "меньше" таким образом, чтобы оно было транзитивным.

Если сконструировали “намеренно”, то для чего? С каким таким конкретным намерением?
Почему именно это (а не иное, тоже могущее быть “намеренно” сконструированным) отношение используется даже в аксиоматических версиях описания реальности?!!!
Например, в аксиоматической формализации фрагмента термодинамики, предложенной Эрнстом Махом:
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/2.html#3