Список вездесущих математических конструкций

[Свободный Художник]

После обсуждения “вездесущности” транзитивности:

epros в сообщении #220948 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #220926 писал(а):

Вы не можете отрицать, что существуют вездесущие математические конструкции (транзитивность в их числе).
Я спрашивал, почему именно они “вездесущие” (и в этом смысле “приняты”).

Отрицать, что они существуют - не буду. Почему вездесущие? По-моему, это вопрос за рамками математики. Возможно, что он в чём-то сродни вопросу о том, почему так "вездесущ" английский язык (в качестве "языка международного общения").

стало интересно: а можно ли составить список вообще всех “вездесущих” математических конструкций? Руководствуясь при этом в т. ч. установлением Р. Декарта:

Цитата:

… делать всюду перечни настолько полные и обзоры столь всеохватывающие, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

Р. Декарт, “Рассуждение о методе, чтобы верно направлять свой разум и отыскивать истину в науках”.

[Xaositect]

А универсальная алгебра и теория категорий не чем-то подобным занимаются?

[luitzen]

Cмотря что называть конструкцией, наверное… Вот транзитивность я бы назвал «хорошим свойством» или как-то так.

Вот такой вопрос появился (в рамках темы, надеюсь). Какая последовательность кванторов является наиболее «математической»? Наиболее распространённой, если рассматривать много областей математики? Такой, что утверждения (в том числе правые части определений), начинающиеся с неё, наименее тривиальны и наиболее интересны? Один товарищ считает, что это $\forall\exists\forall$…

[Свободный Художник]

Xaositect в сообщении #220992 писал(а):

А универсальная алгебра и теория категорий не чем-то подобным занимаются?

Мне кажется, что универсальная алгебра занимает нейтральную позицию по рассматриваемому вопросу.
Для нее одинаково любимыми являются и многообразие групп и многообразие каких-то совершенно диких алгебраических систем с единственной 17-ти арной операцией.
Но мы-то знаем, что группы вездесущнее.

Что касается теории категорий, то ее вездесущность зиждется на вездесущности операции композиции, которая, между прочим, вообще из музыки. Подумайте сами: “композитор” -- он где? В музыке, конечно.

Примером “вездесущей” алгебраической системы может служить, например, полугруппа. Л. Н. Шеврин заявляет об этом прямым текстом:

Цитата:

Полугруппы поистине вездесущи…

Шеврин Л. Н. “Что такое полугруппа”.
http://www.px-pict.com/9/5/2/1.html

-- Ср июн 10, 2009 01:03:52 --

luitzen в сообщении #221045 писал(а):

Вот такой вопрос появился (в рамках темы, надеюсь). Какая последовательность кванторов является наиболее «математической»? Наиболее распространённой, если рассматривать много областей математики? Такой, что утверждения (в том числе правые части определений), начинающиеся с неё, наименее тривиальны и наиболее интересны? Один товарищ считает, что это $\forall\exists\forall$…

Последовательность “для любого существует” явно более распространенная, чем “существует для любого”.
А почему это так, никто не знает …

[VAL]

Свободный Художник в сообщении #221084 писал(а):

Последовательность “для любого существует” явно более распространенная, чем “существует для любого”.
А почему это так, никто не знает …

Ну почему же?
Просто всякий раз, когда справедливо “существует для любого”, выполняется и “для любого существует”, а обратное не верно.

[epros]

luitzen в сообщении #221045 писал(а):

Вот транзитивность я бы назвал «хорошим свойством» или как-то так.

Интересно, а почему? Вот я возьму на вскидку пример из достаточно простого и весьма широко используемого предмета - арифметики Пеано. Какое наиболее простое бинарное отношение может быть определено для натуральных чисел? Конечно же - отношение "предшествует". Увы, никакой транзитивности Наверное, это "нехорошо"? С другой стороны, имеется транзитивное отношение "меньше". Но оно почему-то наводит на подозрения, что его определение специально ввели таким образом, чтобы отношение получилось транзитивным...

Вообще-то, если бы мне предложили определить "хорошее свойство", то я бы сказал, что таковым является свойство, встречающееся примерно в 50% применений (т.е. не слишком редко, но и не слишком часто).

[Xaositect]

epros в сообщении #221105 писал(а):

Интересно, а почему? Вот я возьму на вскидку пример из достаточно простого и весьма широко используемого предмета - арифметики Пеано. Какое наиболее простое бинарное отношение может быть определено для натуральных чисел? Конечно же - отношение "предшествует". Увы, никакой транзитивности Наверное, это "нехорошо"? С другой стороны, имеется транзитивное отношение "меньше". Но оно почему-то наводит на подозрения, что его определение специально ввели таким образом, чтобы отношение получилось транзитивным...

Вот мы и выявили вездесущую конструкцию - транзитивное замыкание.

[Свободный Художник]

VAL в сообщении #221103 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #221084 писал(а):

Последовательность “для любого существует” явно более распространенная, чем “существует для любого”.
А почему это так, никто не знает …

Ну почему же?
Просто всякий раз, когда справедливо “существует для любого”, выполняется и “для любого существует”, а обратное не верно.

Вы полагаете, что имеет место импликация $\exists x \forall y [R(x, y)] \Rightarrow \forall x \exists y [R(x, y)]$?
Это не так. Рассмотрим в качестве $R$ бинарное отношение на множестве $\{1, 2\}$, состоящее из бинарных кортежей $<1, 1>, <1, 2>$.

При такой интерпретации предложение $\exists x \forall y [R(x, y)]$ истинно, а предложение $\forall x \exists y [R(x, y)]$ -- ложно.

[Xaositect]

Имелость в виду $\exists x \forall y R(x,y) \Rightarrow \forall y\exists x R(x,y)$

[VAL]

Xaositect в сообщении #221158 писал(а):

Имелость в виду $\exists x \forall y R(x,y) \Rightarrow \forall y\exists x R(x,y)$

Истину глаголите, Xaositect! (Это к вопросу о том, что есть истина в соседеней теме)

[luitzen]

VAL в сообщении #221179 писал(а):

Xaositect в сообщении #221158 писал(а):

Имелость в виду $\exists x \forall y R(x,y) \Rightarrow \forall y\exists x R(x,y)$

Истину глаголите, Xaositect! (Это к вопросу о том, что есть истина в соседеней теме)

Если к вопросу о том, что есть истина, то можно вспомнить ветвящиеся кванторы. Говорят, что при их использовании не возникает результатов о неопределимости понятия арифметической истины.

Вот только бы ещё понять, что может значить запись вида \small \begin{pmatrix}\forall x_1 \exists y_1\\ \forall x_2 \exists y_2\end{pmatrix}\phi(x_1,x_2,y_1,y_2) .

Пока же можно объявить вездесущей математической конструкцией линейную последовательность кванторов.

[Свободный Художник]

Xaositect в сообщении #221158 писал(а):

Имелость в виду $\exists x \forall y R(x,y) \Rightarrow \forall y\exists x R(x,y)$

С этой импликацией не спорю.

И, тем не менее, хочу заметить следующее. У Куратовского – Мостовского:
Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств.
Пер. с англ., М.: "Мир", 1970, сс. 57 — 58;
есть хорошая картинка, где изображены формулы со всевозможными комбинациями из двух кванторов:
http://www.px-pict.com/preprints/2.html#3

Если следовать Вашей логике:

VAL в сообщении #221103 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #221084 писал(а):

Последовательность “для любого существует” явно более распространенная, чем “существует для любого”.
А почему это так, никто не знает …

Ну почему же?
Просто всякий раз, когда справедливо “существует для любого”, выполняется и “для любого существует”, а обратное не верно.

то “самой распространенной” формулой, среди изображенных там, должна быть формула $\exists x \exists y [R(x, y)]$.

По-моему, это не так. Я продолжаю считать, что именно формула $\forall x \exists y [R(x, y)]$ является “наиболее распространенной” и что этому факту нет разумного объяснения (высказываю в данном случае свое личное субъективное мнение).

VAL в сообщении #221179 писал(а):

Xaositect в сообщении #221158 писал(а):

Имелость в виду $\exists x \forall y R(x,y) \Rightarrow \forall y\exists x R(x,y)$

Истину глаголите, Xaositect! (Это к вопросу о том, что есть истина в соседеней теме)

Истина в вине.

-- Чт июн 11, 2009 01:51:48 --

А вообще, кванторы (как таковые) выглядят как-то уж слишком мелко для вездесущности. Какими-то уж больно специальными конструкциями они выглядят.

Хотелось бы выявить конструкции практически беспредельной вездесущности (и в этом смысле – “божественные”), конструкции, от которых невозможно было бы спрятаться ни в каких кустах.

Цитата:

Взойду ли на небо — Ты там; сойду ли в преисподнюю — и там Ты. Возьму ли крылья зари и переселюсь на край моря, — и там рука Твоя поведет меня, и удержит меня десница Твоя. Скажу ли: “может быть, тьма скроет меня, и свет вокруг меня сделается ночью”; но и тьма не затмит от Тебя, и ночь светла, как день: как тьма, так и свет (Пс. 138, 8–12).

Олег Стеняев "Беседы на книгу Бытия".
http://www.px-pict.com/11/1/4/7.html

Полагаю, что такие конструкции существуют.

-- Чт июн 11, 2009 03:02:49 --

В качестве наиболее вероятного кандидата на роль “максимально вездесущей” конструкции хочу предложить популяризованную Гарри Биркгофом “конструкцию с полярностями” (включая и ее обобщение, известное под названием “связей Галуа”). Я уже имел честь писать об этой конструкции в контексте рассмотрения оппозиции синтаксис/семантика:

Свободный Художник в сообщении #208113 писал(а):

Алгебра Линденбаума-Тарского имеет “синтаксический” смысл.
Но интересна также изоморфная ей “семантическая” булева алгебра.

Определить последнюю проще всего, наверное, если воспользоваться конструкцией Г. Биркгофа с “полярностями”, адаптировав ее для случая пропозициональной логики.
Биркгоф Г. Теория решеток.
Пер. с англ., М.: "Наука", 1984, сс. 163 — 165.
http://www.px-pict.com/9/4/4.html

Т. е. в качестве класса $J$ взять язык исчисления высказываний, в качестве класса $I$ взять множество всех интерпретаций этого языка, а в качестве “спаривающего” отношения $\rho$ взять отношение $\vDash$ из теории моделей.
Для любой формулы $\varphi$ языка $J$ и для любой интерпретации $i \in I$ обычным образом читаем выражение $i \vDash \varphi$ как “формула $\varphi$ истинна в интерпретации $i$” (т. е. интерпретация $i$ является моделью для $\varphi$).

Кто-нибудь знает, где найти информацию о подобной трактовке логических исчислений (через “полярности”). Кое-что я смог обнаружить здесь:
http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection
(подраздел Syntax and semantics на этой странице).

Ведь даже если взять банальный пример теории однородных линейных уравнений от n неизвестных, то видно, что и он прекрасно подпадает под эту общую схему.

[epros]

Свободный Художник в сообщении #221306 писал(а):

Хотелось бы выявить конструкции практически беспредельной вездесущности (и в этом смысле – “божественные”), конструкции, от которых невозможно было бы спрятаться ни в каких кустах.

Подходящие кусты всегда найдутся.

А вообще-то я "конструкцией практически беспредельной вездесущности" полагаю понятие формальной теории: алфавит + грамматика + аксиоматика + правила вывода. Но сразу оговорюсь: Продемонстрируйте мне рассуждение, которое может быть формализовано каким-нибудь другим способом, но только не этим, и я пересмотрю свою точку зрения.

[luitzen]

VAL в сообщении #221103 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #221084 писал(а):

Последовательность “для любого существует” явно более распространенная, чем “существует для любого”.
А почему это так, никто не знает …

Ну почему же?
Просто всякий раз, когда справедливо “существует для любого”, выполняется и “для любого существует”, а обратное не верно.

Пока не вижу связи между распространённостью и «силой».

Если математик гонится за количеством утверждений, то он может ставить то, что послабже, в следствие, а то, что посильнее — в посылку. Если математик гонится за качеством утверждений, то он может ставить то, что послабже, в посылку, а то, что посильнее — в следствие.

«Посылку/следствие» можно заменить на «подформулу, по которой утверждение монотонно убывает/возрастает».

~~~~

Можно ли назвать «конструкцией» — транзитивность же назвали — замкнутость относительно операций?

Под операциями можно иметь в виду и какие-то синтаксические «операции образования». Дескать, долой всякую теорию типов…

[Свободный Художник]

epros в сообщении #221351 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #221306 писал(а):

Хотелось бы выявить конструкции практически беспредельной вездесущности (и в этом смысле – “божественные”)...

А вообще-то я "конструкцией практически беспредельной вездесущности" полагаю понятие формальной теории: алфавит + грамматика + аксиоматика + правила вывода. Но сразу оговорюсь: Продемонстрируйте мне рассуждение, которое может быть формализовано каким-нибудь другим способом, но только не этим, и я пересмотрю свою точку зрения.

Конечно, понятие формальной теории вездесуще.
Но не кажется ли Вам, что оно является все же несколько односторонним? Ведь оно относится только к синтаксису. А как же семантика? Разве не сопровождает всегда формальную теорию некоторая семантика?
Точно так же, как инь всегда сопровождает яна:
http://www.px-pict.com/10/4/2/1/3.html
А на бирже медведи не могут существовать без быков (хотя и непрерывно соперничают):
http://www.px-pict.com/10/4/3.html

Мне кажется, что для каждой предметной области должна существовать своя “стратегическая пара” и это обстоятельство является наиболее вездесущим. Для логики (в рамках которой рассматриваются формальные теории) – это пара синтаксис/семантика. Для биржи – быки/медведи, для китайской философии ян/инь и т. д.