Степени рациональных чисел

[Sasha2]

Вот то, что может оказываться, что иррациональная степень иррационального числа будет числом рациональным понятно.
А может ли рациональным числом оказаться иррациональная степень рационального числа?

[Xaositect]

$2^{\log_2 3} = 3$

[LetsGOX]

Даже из действительного в степени комплексного, можно получить действительное, причем элементарно
Например, $e^{i\pi}+1=0$ (C) Эйлер

[Sasha2]

Да признаюсь сглупил. Но вопрос у меня возник с такой задачей :
Построить сечение, определяющее число, равное 2 в степени корень из двух.
Как-нибудь перефразировать этот вопрос, чтобы исключить такие тривиальные решения.
Например, существует ли два таких числа, одно из которых рациональное, а другое иррациональное, причем второе есть корень рациональной степени из некотторого положительного числа.
Возможен ли тут положительный отве?

[Xaositect]

Вроде бы доказано, что $\log_m n$ трансцендентно, если $m,n\in \mathbb{Q}$ и $n$ не является степенью $m$.
Но я могу ошибаться, просто вспоминается, что кто-то где-то это говорил.

[ИСН]

Если сформулировать как следует, то это ($2^\sqrt 2$) одна из проблем Гильберта. В двух словах: да, решена; нет, чудес не бывает.

[MGM]

Xaositect в сообщении #223157 писал(а):

$2^{\log_2 3} = 3$

А если без трансцендентных?

[Gortaur]

Можно сказать и так: может ли $\frac{\ln{p}}{\ln{q}}$ иррациональным, но не трансцендентным, если $p,q \in \mathbb{Q}$?