Динамические процессы

[Gortaur]

Добрый день, уважаемые.

Хотелось бы немного поговорить о моделях динамических процессов. Я знаком по крайней мере с 2-мя (время непрерыно и дискретно):
1. $\dot{x} = U(x,t)$;
2. $x_{n+1} = V(x_n,n)$

Если с первыми еще более или менее понятно, как найти общее решение, то насчет второго насколько я знаю, решение не всегда ищется легко. Есть ли какие-нибудь методы сведения итерационных процессов к дифурам?

[MGM]

Gortaur в сообщении #223020 писал(а):

Добрый день, уважаемые.

Хотелось бы немного поговорить о моделях динамических процессов. Я знаком по крайней мере с 2-мя (время непрерыно и дискретно):
1. $\dot{x} = U(x,t)$;
2. $x_{n+1} = V(x_n,n)$

Если с первыми еще более или менее понятно, как найти общее решение, то насчет второго насколько я знаю, решение не всегда ищется легко. Есть ли какие-нибудь методы сведения итерационных процессов к дифурам?

Только если :
$\[ \Delta x_n = x_{n + 1} - x_n = U\left( {x_n ,n} \right); \]$
Тогда почти полная аналогия.

[Gortaur]

К сожалению, мы не можем в таком случае уменьшить разность $(n+1) - n$ или сколь угодно ее измельчить ((

[terminator-II]

Gortaur в сообщении #223020 писал(а):

Если с первыми еще более или менее понятно, как найти общее решение, то насчет второго насколько я знаю, решение не всегда ищется легко.

вообще-то наоборот: в непрерывном случае решение можно найти лишь приближенно, сходимость приближений доказывается в соответствующих теоремах существования, а в дискретном случае точное решение получается сразу - явно итерированием

[MGM]

Gortaur в сообщении #223034 писал(а):

К сожалению, мы не можем в таком случае уменьшить разность $(n+1) - n$ или сколь угодно ее измельчить ((

Что поделать.

Поэтому квадратуру круга сначала приближали китайским квадратом.

[ИСН]

terminator-II в сообщении #223037 писал(а):

в непрерывном случае решение можно найти лишь приближенно

Месье конструктивист?

[Gortaur]

Какие есть методы для работы с итерационными процессами? Верно ли, что если $x_{n+1} = U(x_n)$, и имеет предел на бесконечности, то $x = U(x)$, где $x$ - предел?

[MGM]

Gortaur в сообщении #223043 писал(а):

Какие есть методы для работы с итерационными процессами? Верно ли, что если $x_{n+1} = U(x_n)$, и имеет предел на бесконечности, то $x = U(x)$, где $x$ - предел?

Не верно, в общем.
Это две разные функции.
Вы путаете значения в дискретных отсчётах непрерывной функции с функцией дискретной по определению.
Хотя часто бывает, что ассимптотики совпадают.

В дискретном анализе, многих вообще не волнует, есть ли у итерационной последовательности первонепрерывная , как например, гамма функция для факториала.

[мат-ламер]

Цитата:

Gortaur в сообщении #223043 писал(а):

Какие есть методы для работы с итерационными процессами? Верно ли, что если $x_{n+1} = U(x_n)$, и имеет предел на бесконечности, то $x = U(x)$, где $x$ - предел?

Вот если $U$ непрерывно в точке $x$, то да.

[Gortaur]

Предположим, что пределов несколько. Как тогда будет выглядеть поведение последовательности в зависимости от начальных условиях? А так же вопрос - если корни не будут действительными?

Насколько я помню, есть такое решение для уравнения $x = f(x)$ методом $x_{n+1} = f(x_n)$, который сходится, если $|f'| \leq q <1$.

[мат-ламер]

Цитата:

Предположим, что пределов несколько. Как тогда будет выглядеть поведение последовательности в зависимости от начальных условиях?

Тут может быть всё что угодно. Какова размерность вашего процесса?

[ИСН]

Это даже неважно - уже для одномерного процесса, действительно, может быть всё что угодно.

[Gortaur]

Я имею ввиду не однозначный ответ а исследование на эту тему. Что можно посмотреть из мат. литературы - желательно, чтобы там встречались аналогии из реальности.

[мат-ламер]

Если Вас интересует применеие топологических методов, то посмотрите Шашкин Ю.А. Неподвижные точки.

[Gortaur]

Меня интересует предельное поведение этих последовательностей, особенно если $U'>1$ по крайней мере в одной точке и $x = U(x)$ имеет несолько корней.