ТФКП...Нужны идеи по поводу решения...

[oleg-spbu]

Спасибо, Влад. А почему так? Какие тут особы точки?
Сделал 2,3,4,6.
ответы

$$ 2) \frac{5z-100}{z^4 +5z^3 -50z^2}= \frac2 {z^2} + \frac1 {10z} + \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k10^{k-1}-5^{k-1}}{10^{k+1}}$$

$$ 3)(z-3)cos{\pi}\frac{z-3}{z}=3-z+\frac{9\pi^2}{2z}-\frac{27\pi^2}{2z^2} - \frac{27\pi^4}{8z^3}+\frac{81\pi^4}{8z^4} +O(\frac1{z^6}) $$

Хотелось бы проверить 4, пишу решение....

$$cos(z^2)=1-\frac{z^4}{2!} + O({z^8}) = 1-\frac{z^4}{2} + O({z^8}) $$

$$sh(z)=z + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!}+ O(z^7) = z + \frac{z^3}6 + \frac{z^5}{120}+ O(z^7) $$

$$ \frac{cosz^2 -1}{shz - z - \frac{z^3}{6}}=\frac{1-\frac{z^4}{2} + O({z^8})-1}{z + \frac{z^3}6 + \frac{z^5}{120}+ O(z^7)- z - \frac{z^3}6}=-\frac{\frac{z^4}{2}+O(z^8)}{\frac{z^5}{120}+O(z^7)}=-\frac{\frac{z^4}{2}(1+O(z^4))}{\frac{z^5}{120}(1+O(z^2))}=-\frac{60}z + O(z^4) $$

Похоже на правду?

[vlad239]

Интеграл не зависит от пути интегрирования, если внутри области, ограниченной этими двумя путями, нет особых точек функции (функции мы, естественно, только хорошие рассматриваем). А у Вашей функции их нет нигде, в том числе и в понятно каком треугольнике.

Влад.

[oleg-spbu]

Теперь ясно, спасибо, Влад! Только не ясно, как параметризовать...

Еще есть вопрос по поводу решения этого примера

5) Для данной функции найти изолированные точки и определить их тип.

$$\frac{1}{e^z + 1}$$

$$res_({z_k=\pi+i2{\pi}k}) = \frac1{e^{\pi+i2{\pi}k}}=-1$$

=> $z_k$-полюса первого порядка.
А как быть с бесконечностью, какой она точкой является и как это можно аргументировать?
Как-то сложно сказать, является ли она изолированной(то есть регулярной в окрестности бесконечности...)

[Gordmit]

oleg-spbu в сообщении #222930 писал(а):

А как быть с бесконечностью, какой она точкой является и как это можно аргументировать?
Как-то сложно сказать, является ли она изолированной(то есть регулярной в окрестности бесконечности...)

См. выше:

ewert в сообщении #222858 писал(а):

(Да, на всякий случай и во избежание недоразумений: хоть эть особые точки и накапливаются на бесконечности -- сама бесконечность, тем не менее, "существенно особой" не является. Просто потому, что она -- не изолированная.)

В этом случае так и говорят - точка накопления полюсов.
Классификация особых точек (устранимые, полюса, существенно особые) имеется только для изолированных особых точек, а в данном случае бесконечность изолированной особой точкой не является: в любую ее окрестность обязательно попадет бесконечно много полюсов $z_k$.

[oleg-spbu]

Gordmit в сообщении #222933 писал(а):

oleg-spbu в сообщении #222930 писал(а):

В этом случае так и говорят - точка накопления полюсов.
Классификация особых точек (устранимые, полюса, существенно особые) имеется только для изолированных особых точек, а в данном случае бесконечность изолированной особой точкой не является: в любую ее окрестность обязательно попадет бесконечно много полюсов $z_k$.

Спасибо большое, теперь понял, раньше мне непонятно было, почему она неизолированная

-- Чт июн 18, 2009 02:08:03 --

можно ли так посчитать?

$${\int_{ABC}}({z^2+cosz})dz$$

$z_A=0$ $z_B=1$ $z_C=i$

В области, ограниченной этими тремя путями нет особых точек для подынтегральной функции, следовательно по теореме Коши интеграл не зависи от пути интегрирования. Интегрируя по ко контуру АС, мы получим тот же результат, если проинтегрируем по АВС. z=x+iy. Вдоль прямой АС х не меняется и равен нулю, сделаем замену $t=iy, dt=idy$=>

$${\int_{ABC}}({z^2+cosz})dz ={\int_0^i}({(iy)^2+cosiy})d(iy) ={\int_0^i}({t^2+cost})dt = \frac{t^3}3 +sin(i) $$

-- Чт июн 18, 2009 03:27:39 --

Завтра сдавать...Проверьте, пожалуйста...

[demonafi]

oleg-spbu

Похоже на правду?[/quote]

Да, похоже на правду!

[Hymilev]

demonafi писал(а):

Да, похоже на правду!

настолько похоже, что если тройку поставят считай повезло

[oleg-spbu]

А что не так?(((((

[Hymilev]

2 задача полностью не правильна
разложений должно быть три 1)внутри меньшего круга
2) в кольце
3) вне большего круга
4- не доделана - нужно определить тип особой точки
с интегралом (последняя задачка) не нужно никакой параметризации подинтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости значение интеграла зависит только от начала и конца и решается с помощью первообразной

[oleg-spbu]

Hymilev в сообщении #222988 писал(а):

2 задача полностью не правильна
разложений должно быть три 1)внутри меньшего круга
2) в кольце
3) вне большего круга
4- не доделана - нужно определить тип особой точки
с интегралом (последняя задачка) не нужно никакой параметризации подинтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости значение интеграла зависит только от начала и конца и решается с помощью первообразной

Спасибо, Hymilev!
По поводу второй. Да, я разложил в проколотой окрестости точки z=0...
В условии было сказано
Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z. Если по степеням z, то это означает, что в окрестности $z=0$ Может я переврался, поправьте, если что...
4) Да, я забыл написать, что это полюс первого порядка....Но в решении я это сделал...
А последнюю задачу я именно так и сделал (в моем понимании, если нет - то извиняюсь)....Еще раз спасибо!!!!!

[Hymilev]

oleg-spbu писал(а):

В условии было сказано
Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z. Если по степеням z, то это означает, что в окрестности $z=0$ Может я переврался, поправьте, если что...

тогда зачем в задании слово все
нужно разложить по z и 1/z третье и четвертое слагаемое и обьединить разложения

[oleg-spbu]

обьединить разложения, то есть просуммировать?

[Hymilev]

просуммировать с учетом области сходимости
по z оба слагаемых - внутри кругов
один по z другой по 1/z в кольце и тд

[oleg-spbu]

Если за $g(z)$ обозначить слагаемое по $z$, а $h(\frac1 z)$ по $\frac1 z$
То есть
иcходная функция равна

$$f= g(z)\theta(1-z) + h(\frac1 z)\theta(z-1) $$

где $\theta(z)$ - тетта-функция Хевисайда.

$z\neq 0$, $z\neq 1$

Вы это имели ввиду? (извиняюсь, если надоел, хочется знать "как правильно", несмотря на то, что работу сдал....)

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #222996 писал(а):

По поводу второй. Да, я разложил в проколотой окрестости точки z=0...
В условии было сказано
Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z. Если по степеням z, то это означает, что в окрестности $z=0$

да вовсе нет, господь с Вами. Разложить по степеням $z$ -- это ровно и означает разложить по степеням $z$. Уж как получится в том или ином кольце, так и раскладывайте (в зависимости от кольца). С какой стати кольцо ноль-то обязано содержать?...