ТФКП...Нужны идеи по поводу решения...

[oleg-spbu]

Gordmit в сообщении #222933 писал(а):

oleg-spbu в сообщении #222930 писал(а):

А как быть с бесконечностью, какой она точкой является и как это можно аргументировать?
Как-то сложно сказать, является ли она изолированной(то есть регулярной в окрестности бесконечности...)

См. выше:

ewert в сообщении #222858 писал(а):

(Да, на всякий случай и во избежание недоразумений: хоть эть особые точки и накапливаются на бесконечности -- сама бесконечность, тем не менее, "существенно особой" не является. Просто потому, что она -- не изолированная.)

В этом случае так и говорят - точка накопления полюсов.
Классификация особых точек (устранимые, полюса, существенно особые) имеется только для изолированных особых точек, а в данном случае бесконечность изолированной особой точкой не является: в любую ее окрестность обязательно попадет бесконечно много полюсов $z_k$.

Спасибо большое, теперь понял, раньше мне непонятно было, почему она неизолированная

[Hymilev]

2)Методом неопределенных коэффициентов разбить дробь на простейшие первые два члена не трогаем, а с третьим и четвертым проводим разложения
Причем двумя способами внутри и вне соответствующих кругов(r1=5,r2=10)
Обьеденяем разложения (их должно быть три)
3)Воспользуйтесь тригонометрической формулой для косинуса разности, а затем стандартными разложениями
4)разложите в ряд МАКЛОРЕНА числитель и знаменатель и найдите какое должно быть k чтобы умножив на $z^k$ получить константу в нуле , k- порядок полюса
5)особые точки $i(\pi+2\pi k)$
возьмите одну точку и покажите что это простой полюс

[demonafi]

по поводу четвергого, может попробовать разлажить в ряд Лорана косинус и синус.

по шестому, интеграл по замкнотому контуру, поэтому нужно проверить сколько существенных точек лежит в данном круге, расписать как сумму интеграллов и применить соотвествующию теорему.

по поводу пятого - звучит разумно.

по поводу третьего $cos(\pi\frac{z-3}{z})$ заменяем на $-cos(\pi\frac{3}{z})$ и его раскладываем в ряд Лорана, после умножаем на скобку и раскрываем и получаем нужный результат

по поводу второго, может сначало разбить на простейшие дроби (?)

Получим
$ \frac{2}{z^2}+\frac{1}{10z}+\frac{1}{10(z+10)}-\frac{1}{5(z-5)}$

И тут вроде проще?

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #222847 писал(а):

5)

$$\frac{1}{e^z + 1}$$

Думаю, что все изолированные особые точки - это $z_{0}=\pi +2{\pi}k$
Тк они накапливаются на бескончности => $z_0$ - существенно особая точка

Во-первых, Вы мнимую единичку потеряли. Во-вторых (это после того как найдёте): как может быть "зет с ноликом" точкой, когда она -- множество точек?... (каждая из которых, между прочим и естественно, полюс, и при том, естественно, простой).

(Да, на всякий случай и во избежание недоразумений: хоть эть особые точки и накапливаются на бесконечности -- сама бесконечность, тем не менее, "существенно особой" не является. Просто потому, что она -- не изолированная.)

oleg-spbu в сообщении #222847 писал(а):

6) Можно ли разложить в ряд тейлора знаменатель и сосчитать вычет в нуле? Есть ли другой способ?

$${\int_{|z -\frac{1}{2}|=1}}{\frac{iz(z-i)dz}{sin{\pi}z}}$$

Можно, но не нужно. Там полюс -- не более чем простой (т.к. корень знаменателя не более чем простой), воспользуйтесь любым из двух стандартных правил нахождения вычета для этого случая.

[oleg-spbu]

да, пропустил мнимую единицу, спасибо большое=)
По поводу задачи 2) Что-то особо не понял как проводить разложение, после разбиения на простейшие!

[Hymilev]

ewert писал(а):

Можно, но не нужно. Там полюс -- не более чем простой (т.к. корень знаменателя не более чем простой), воспользуйтесь любым из двух стандартных правил нахождения вычета для этого случая.

полюсами там не пахнет

[ewert]

Hymilev в сообщении #222861 писал(а):

полюсами там не пахнет

Это была 5-я задача. Там (ввиду того, что как числитель, так и знаменатель -- целые функции) ничего, кроме полюсов, не может быть в принципе.

[Hymilev]

ewert в сообщении #222862 писал(а):

Hymilev в сообщении #222861 писал(а):

полюсами там не пахнет

Это была 5-я задача. Там (ввиду того, что как числитель, так и знаменатель -- целые функции) ничего, кроме полюсов, не может быть в принципе.

устранимая особая точка еще может быть

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #222860 писал(а):

По поводу задачи 2) Что-то особо не понял как проводить разложение, после разбиения на простейшие!

Очень просто. Каждая из дробей (кроме, естественно, единицы на зет и на зет квадрат) раскладывается в сумму соответствующей геометрической прогрессии по степеням зет.

Это -- в окрестности нуля, конечно. В остальных кольцах надо смотреть, раскладывается ли та или иная дробь в сходящуюся прогрессию по степеням именно зет -- или, наоборот, по степеням зет в минус первой степени. Этим и определяются варианты разложения в разных кольцах.

[oleg-spbu]

-- Ср июн 17, 2009 21:06:25 --

ewert в сообщении #222866 писал(а):

oleg-spbu в сообщении #222860 писал(а):

По поводу задачи 2) Что-то особо не понял как проводить разложение, после разбиения на простейшие!

Очень просто. Каждая из дробей (кроме, естественно, единицы на зет и на зет квадрат) раскладывается в сумму соответствующей геометрической прогрессии по степеням зет.

Это -- в окрестности нуля, конечно. В остальных кольцах надо смотреть, раскладывается ли та или иная дробь в сходящуюся прогрессию по степеням именно зет -- или, наоборот, по степеням зет в минус первой степени. Этим и определяются варианты разложения в разных кольцах.

Спасибо, да точно, именно так должно быть)

-- Ср июн 17, 2009 21:07:54 --

А в пятой там изолированных особых точек нет походу...

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #222885 писал(а):

А в пятой там изолированных особых точек нет походу...

Как это нет?... Вы ж почти угадали; вставьте недостающие $i$ -- и получите искомые точки.

[oleg-spbu]

ок, ewert . В шестом примере в кольце, получилось лежат 2 точки, которые являются полюсами 0 и 1 В нуле вычет равен нулю. Ответ получается 2(1-i) Правдоподобно?

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #222899 писал(а):

лежат 2 точки, которые являются полюсами 0 и 1 В нуле вычет равен нулю. Ответ получается 2(1-i) Правдоподобно?

Вполне.

[oleg-spbu]

Подскажите, пожалуйста...

$${\int_{ABC}}({z^2+cosz})dz$$

$z_A=0$ $z_B=1$ $z_C=i$
Вычислить интеграл по данной кривой...
Можно разбить на три интеграла, а что дальше?

[vlad239]

Так особых точек же нет. Поэтому можете заменить на отрезок $AC$. Параметризуйте его вещественным параметром. Получите два вещественных интеграла (вещественную и мнимую часть). Их придется посчитать.

Влад.