Гипотеза континуума: вопрос логического плана

[epros]

Сначала небольшое вступление:

Допустим, у нас есть формальная теория $T$ в классическом исчислении предикатов первого порядка. Допустим также, что в ней определено свойство$\varphi(x)$, которое разрешимо в этой теории для любой предметной переменной $x$, т.е.
$(\forall x)((T \vdash \varphi(x)) \vee (T \vdash \neg \varphi(x)))$. (1)

Допустим, что высказывание $(\forall x)(\varphi(x))$ неразрешимо в теории, т.е.:
$(T \nvdash (\forall x) \varphi(x)) \wedge (T \nvdash \neg (\forall x) \varphi(x))$ (2)
следовательно
$T \nvdash (\exists x) (\neg \varphi(x))$
следовательно
$(\nexists x)(T \vdash \neg \varphi(x))$
или
$(\forall x)(T \nvdash \neg \varphi(x))$. (3)

Но из (1) и (3) совместно следует $(\forall x)(T \vdash \varphi(x))$. Т.е. фактически высказывание $(\forall x)(\varphi(x))$ доказано метатеоретически (в предположении, что все выводы теории $T$ верны), хотя оно осталось неразрешимым в теории $T$.

Человеческими словами: Высказывание о всеобщности, неразрешимое в истиной теории, является истинным (при условии разрешимости стоящего в нём свойства).

Аналогично можно продемонстрировать, что: Высказывание о существовании, неразрешимое в истинной теории, является ложным (при условии разрешимости стоящего в нём свойства).

Теперь настало время вспомнить и про гипотезу континуума, ибо она является как раз утверждением о существовании, неразрешимость которого в теории множеств доказана:
$(\nexists x)(\varphi(x))$, где $\varphi(x)$ читается как: "Множество $x$ имеет промежуточную кардинальность". Получается что:
1. Либо гипотеза континуума таким образом метатеоретически доказана.
2. Либо свойство множества "иметь промежуточную кардинальность" неразрешимо (скажем, в ZFC) по крайней мере для некоторых множеств.

Я, конечно, склоняюсь ко второму...

Что скажете?

[Инт]

Малополезные рассуждения. Так за дёшево решить задачу не получится. Интереснее по существу решить в обычном математическом духе.

[Xaositect]

Так вроде бы множество всех счетных ординалов (a.k.a $\aleph_1$) будет примером множества, для которого это свойство неразрешимо (эквивалентно самой континуум-гипотезе, которая часто так и формулируется: "верно ли, что $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$?")

[MGM]

Надо сначала доказать, что теория классического исчисления предикатов первого порядка, верна в теории классического исчисления предикатов второго порядка.

[epros]

Xaositect в сообщении #222803 писал(а):

Так вроде бы множество всех счетных ординалов (a.k.a $\aleph_1$) будет примером множества, для которого это свойство неразрешимо (эквивалентно самой континуум-гипотезе, которая часто так и формулируется: "верно ли, что $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$?")

Да, точно: первый несчётный ординал имеет неопределимую кардинальность. Причём неразрешимость в ZFC вопроса о его кардинальности доказана. Как-то это мне сразу в голову не пришло...

[Черный Евгений]

Автору темы.
1) Попытка заменить сложное, но в какой-то мере наглядное (континуум), еще более сложным, и совершенно не наглядным. На противоречивость континуума указывали древние мыслители, потом Беркли, потом некоторые аспиранты МГУ 20-х годов, наивно полагающие, что они "открыли" противоречивость континуума для математики.
2) Беркли говорил Ньютону:"Если Вы полагаете,что мир может основываться на непрерывных структурах, например, непрерывном пространстве, то Вы идеалист в значительно большей степени, чем я".
3) Если автор может чем-то дополнить древних, или Бэркли, или "первооткрывателей"-аспирантов то пусть скажет нормальным человеческим языком. Зачем эти птичьи констукции вместо гипотезы бесконечной делимости?