Симметрия кубической сингонии

[H-farrier]

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что во всех пространственных группах кубической сингонии ( хотя бы для простой кубической решетки) вектор трансляции при повороте $C_3$ можно взять нулевым?

[nestoklon]

А посмотреть на точечные группы которые встречаются в кубической сингонии и заметить, что во всех есть $C_3$ -- будет решением? Или вам надо доказать э то "из первых принципов"?

[H-farrier]

nestoklon в сообщении #222700 писал(а):

заметить, что во всех есть $C_3$ -- будет решением?

Т.е., что $C_3$ будет решением, как элемент пространственной группы? Как показать, что ось $C_3$ не может быть винтовой с дробным шагом?

[nestoklon]

H-farrier в сообщении #222753 писал(а):

Т.е., что $C_3$ будет решением, как элемент пространственной группы?

Точечная группа и пространственная группа -- это две разные группы...

H-farrier в сообщении #222753 писал(а):

Как показать, что ось $C_3$ не может быть винтовой с дробным шагом?

Это вопрос, отличный от заданного в первом посте. "Можно взять нулевым" и "может быть только нулевым" это два разных утверждения.
Уточните, что вам таки надо доказать? И опять же, можно ли для этого пользоваться учебником в котором все 230 групп тупо перечислены? Или надо это доказывать исходя только из того, что мы знаем о кубической сингонии "по определению"?

[H-farrier]

В таблицах пространственных групп кубической сингонии вектор трансляции при повороте $C_3$ везде берется нулевым. Я пытаюсь это понять,

nestoklon в сообщении #222781 писал(а):

исходя только из того, что мы знаем о кубической сингонии "по определению".

Говоря про винтовую ось, я подразумевал, что точка отсчета ( относительно которой мы рассматриваем повороты) уже находится на этой оси и тем самым вектор трансляции при повороте $C_3$ определен с точностью до вектора $\boldsymbol{\alpha}=(\alpha, \alpha, \alpha)$, где $\alpha = 0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$.

[nestoklon]

"В таблицах" обычно указывают точечные группы (классы). Вы уверены, что чётко понимаете что такое точечная группа?

Простите, а вот это про винтовую ось -- это к чему вообще?
Я ещё раз (последний) спрошу -- вам надо показать что есть "нормальная" ось $C_3$ или что нет винтовых осей $C_3$?

[H-farrier]

Точечная группа получается из пространственной сведением всех элементов последней в одну точку, то есть уничтожением трансляций. Под таблицей пространственных групп я понимал, например, ту, которая в конце книги Любарского, где в каждом классе кажому элементу симметрии точечной группы поставлен в соответствие свой вектор трансляции.
Вот, посмотрев в эту таблицу, я вижу, что в кубической сингонии в каждом классе и типе решетки элементу $C_3$ соответствует нулевой вектор трансляции и пытаюсь понять, почему (а это, насколько я понимаю, и означает отсутствие винтовой оси $C_3$). То есть, мне нужно доказать отсутствие винтовой оси $C_3$.

[nestoklon]

H-farrier в сообщении #222829 писал(а):

Точечная группа получается из пространственной сведением всех элементов последней в одну точку, то есть уничтожением трансляций.

Ну, как и ожидалось, с определениями у вас не очень.
Обычно под точечной группой [пространственной группы] понимается всё же группа, составленная из таких элементов пространственной группы, которые оставляют на месте точку. Потрудитесь найти определение в Любарском, раз уж он у вас есть.
Соответственно, точечная группа не может содержать никаких рудиментов винтовых осей по определению.

То, что вы дальше пишете про таблицу кажется мне странным. Дело в том, что поворот винтовой оси (винтовая ось "состоит" из поворота и трансляции, которые по отдельности не входят в пространственную группу) никогда не будет входить в точечную группу. Опять же по определению.

H-farrier в сообщении #222829 писал(а):

То есть, мне нужно доказать отсутствие винтовой оси $C_3$.

Учитывая вышесказанное, я не уверен, что вам таки оно надо. Однако я бы доказывал подобный факт приблизительно так: 1) взять какой-нибудь класс 2) предположить, что есть винтовая ось которой соответствет нетривиальная трансляция на вектор $\vec{a}$ 3) посмотреть, что с этим вектором делают элементы симметрии из этого класса. Должно получиться что-то в духе $\vec{a}=-\vec{a}$ 4) пробежался по всем классам сингонии.

[H-farrier]

Спасибо, я хотел услышать последнее.
Но все-таки, под точечной группой я имел ввиду группу направлений (может из-за этого Вы меня не поняли), присоединением к каждому элементу которой некоторой трансляции получается пространственная группа.