что следует из теоремы Геделя

[epros]

Nxx в сообщении #222650 писал(а):

В метатеории это можно доказать только если расширить систему аксиом.

Разумеется, утверждение, что "всё, доказанное в арифметике, истинно" можно считать дополнительной аксиомой.

-- Вт июн 16, 2009 22:36:57 --

Nxx в сообщении #222650 писал(а):

Ваша "метатеория" в таком случае имеет только одну аксиому "все выводимое из аксиом арифметики, выводимо из аксиом арифметики". Что является тавтологией.

Чушь, $(A \vdash p) \rightarrow p$ - не тавтология.

[Nxx]

Цитата:

Разумеется, утверждение, что "всё, доказанное в арифметике, истинно" можно считать дополнительной аксиомой.

Дополнительной аксиомой для метатеории, но не для арифметики.

Цитата:

Чушь, $(A \vdash p) \rightarrow p$ - не тавтология.

Если это присоединить к арифметике, то это тавтология. Если это присоединить к метатеории, это все равно, что присоединить всю арифметику к метатеории. В этом случае мы получаем новую теорию, которая состоит из всех аксиом арифметики плюс все аксиомы метатеории. Разумеется, получившаяся теория не является аналогичной арифметике и утверждения, доказанные в этой теории вовсе не являются "истинными" (т.е., ввыводимыми) в арифметике без доп. аксиом.

[epros]

Nxx, Вы куда-то в сторону обсуждение уводите, как обычно.

Утверждение недоказуемо в арифметике, но доказано в метатеории. Метатеория ничего не добавляет к арифметике, кроме утверждения о её истинности, поэтому считается, что утверждение "истинно с точки зрения арифметики". Не нравится этот словооборот? Ну что ж тут сказать...

[Nxx]

Цитата:

Метатеория ничего не добавляет к арифметике, кроме утверждения о её истинности,

Значит, она вообще ничего не добавляет к арифметике. То же самое, что сказать "все истинные утверждения - истинны".

[Xaositect]

Nxx в сообщении #222673 писал(а):

Значит, она вообще ничего не добавляет к арифметике. То же самое, что сказать "все истинные утверждения - истинны".

"Все доказуемые утверждения истинны"

В арифметике можно доказать $(p(n))$ для любого $n$, но нельзя доказать, что $\forall n\ p(n)$. Это можно доказать только с помощью этой "метааксиомы".

[epros]

Nxx в сообщении #222673 писал(а):

То же самое, что сказать "все истинные утверждения - истинны".

Приняв в качестве аксиомы, что Земля - плоская, я могу доказать много всякого. Но это не означает, что всё доказанное - истинно, ибо сама эта аксиома с моей точки зрения не есть истина. Так что доказуемость и истинность - не одно и то же. Доказуемость влечёт истинность только для принятой теории.

[Nxx]

Цитата:

Приняв в качестве аксиомы, что Земля - плоская, я могу доказать много всякого. Но это не означает, что всё доказанное - истинно

Ты приводишь пример из физики, а мы говорим о математике. В физике истинность теории определяется тем, насколько она соответствует эксперименту. А в математике есть только доказуемое, противоречащее аксиомам и независимое от аксиом. "Истинного" в математике нет. Это не математическое понятие. Нельзя, например, сказать, что геометрия Евклида (или какая-то другая) - "истинная". Или что какие-то аксиомы - "истинные". Иногда, правда, слово "истинное" используется как синоним доказуемого или выводимого в рамках некоей заранее известной теории. Например, можно сказать, что "истинно, что 2х2=4", при этом подразумевается, что это доказуемо в рамках подразумеваемых аксиом арифметики. В рамках другой аксиоматики, в то же время, это может быть недоказуемо и даже несовместно. Поэтому если мы хотим полной строгости, мы должны сказать "2х2=4 выводимо в рамках такой-то аксиоматики".

[epros]

Nxx в сообщении #222739 писал(а):

Ты приводишь пример из физики, а мы говорим о математике.

Без разницы - физика, биология, социология или экономика. Это всё - разные области применения теорий, в том числе - формальных математических (таких, как арифметика). Не надо возводить непреодолимую преграду между математикой и её приложениями, как будто это всё - разные эзотерические культы, куда чужих не пускают.

Nxx в сообщении #222739 писал(а):

А в математике есть только доказуемое, противоречащее аксиомам и независимое от аксиом. "Истинного" в математике нет.

Если в известной Вам математике этого понятия нет, то его нужно срочно туда ввести. Потому что математика - это не просто игра ума для избранных, а в первую очередь универсальный инструментарий для прикладных дисциплин, которым интересны истинные выводы, а не просто следующие из каких-то аксиом.

Поэтому нужно понимать, что доказательства нам нужны в первую очередь как средство нахождения истины, а не просто как способ тренировки ума. И аксиомы стали таковыми не потому, что так их нам заблагорассудилось назвать, а потому, что эти высказывания приняты нами как заведомо истинные.

[Nxx]

Цитата:

Если в известной Вам математике этого понятия нет, то его нужно срочно туда ввести. Потому что математика - это не просто игра ума для избранных, а в первую очередь универсальный инструментарий для прикладных дисциплин, которым интересны истинные выводы, а не просто следующие из каких-то аксиом.

Хотитие сделать из математики естественнонаучную дисциплину? Пожалуйста, но тогда критерием истинности становится эксперимент.

Цитата:

Поэтому нужно понимать, что доказательства нам нужны в первую очередь как средство нахождения истины, а не просто как способ тренировки ума. И аксиомы стали таковыми не потому, что так их нам заблагорассудилось назвать, а потому, что эти высказывания приняты нами как заведомо истинные.

Так в школе учат. На самом же деле, в математике не существует заведомо истинных аксиом.

[naiv1]

epros в сообщении #222760 писал(а):

И аксиомы стали таковыми не потому, что так их нам заблагорассудилось назвать, а потому, что эти высказывания приняты нами как заведомо истинные.

Nxx в сообщении #222767 писал(а):

На самом же деле, в математике не существует заведомо истинных аксиом.

Какой смысл здесь вкладывают авторы в понятие "заведомо истинные аксиомы"? Я акцентирую вопрос на слове "заведомо".

[epros]

naiv1 в сообщении #222923 писал(а):

Какой смысл здесь вкладывают авторы в понятие "заведомо истинные аксиомы"? Я акцентирую вопрос на слове "заведомо".

1. Явно, умышленно принимая утверждение как истинное.
2. Зная заранее (что оно истинно) - т.е. не имея ещё никаких доказательств тому.

По-моему, оба смысла применимы.

[naiv1]

epros в сообщении #222952 писал(а):

2. Зная заранее (что оно истинно) - т.е. не имея ещё никаких доказательств тому.

Интересно какие доказательства нужны для аксиом - утверждений, верных по определению (в математическом смысле)?

Другое дело откуда берутся и чем обосновывается выбор тех или иных аксиом. Это уже предмет особого рассмотрения.

По этому поводу классик (да, да - В.И. Ленин) сказал:

Цитата:

...практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом

И по той же ссылке некоторое добавление:

Цитата:

Именно в обусловленности многовековым человеческим опытом, практикой, включая сюда также и эксперимент, и опыт развития науки,— причина очевидности А., рассматриваемых как истины, не нуждающиеся в доказательстве.

[Alexey Romanov]

Xaositect в сообщении #222366 писал(а):

По теореме Геделя недоказуемым является, например, утверждение о непротиворечивости арифметики Пеано, которое, очевидно, истинно в любой модели этой самой арифметики (если она действительно непротиворечива).

Это, очевидно, неверно. Если бы оно было истинно в любой модели арифметики, то оно было бы доказуемо в ней по теореме Гёделя о полноте.

epros в сообщении #222631 писал(а):

Мне интересно доказательство в теории, в которой вообще нет никакой дополнительной аксиоматики помимо утверждения, что "всё, доказанное в арифметике, истинно". Тогда автоматически из $(\forall n)(A \vdash p(n))$ получаем $(\forall n)(p(n))$. Здесь $A \vdash$ читается как "доказуемо в арифметике".

Доказать теорему Гудстейна в этой теории не получится. Пусть $G(n)$ означает "$n$-ная последовательность Гудстейна конечна". То, что Вы можете доказать $A \vdash G(1)$, $A \vdash G(2)$, и т.д. не даёт Вам $(\forall n)(A \vdash p(n))$, поскольку в этой теории нельзя доказать, или даже сформулировать, утверждение, что все натуральные числа стандартны.

[epros]

naiv1 в сообщении #223167 писал(а):

Интересно какие доказательства нужны для аксиом - утверждений, верных по определению (в математическом смысле)?

Другое дело откуда берутся и чем обосновывается выбор тех или иных аксиом. Это уже предмет особого рассмотрения.

Суждения о том, откуда берутся аксиомы и чем обосновывается их выбор, - это по своей сути и есть их доказательство. Другое дело, что оно может быть не до конца формализованным. Но это - "уже предмет особого рассмотрения".

С "классиком", к сожалению, я знаком чуть больше того, чем он с моей точки зрения заслуживает, и многое из им сказанного я давно для себя переосмыслил...

Alexey Romanov в сообщении #223169 писал(а):

epros в сообщении #222631 писал(а):

Мне интересно доказательство в теории, в которой вообще нет никакой дополнительной аксиоматики помимо утверждения, что "всё, доказанное в арифметике, истинно". Тогда автоматически из $(\forall n)(A \vdash p(n))$ получаем $(\forall n)(p(n))$. Здесь $A \vdash$ читается как "доказуемо в арифметике".

Доказать теорему Гудстейна в этой теории не получится. Пусть $G(n)$ означает "$n$-ная последовательность Гудстейна конечна". То, что Вы можете доказать $A \vdash G(1)$, $A \vdash G(2)$, и т.д. не даёт Вам $(\forall n)(A \vdash p(n))$, поскольку в этой теории нельзя доказать, или даже сформулировать, утверждение, что все натуральные числа стандартны.

Я имел в виду вот что. Мета-утверждение об истинности арифметики запишется так:
$(\forall S \in A)((A \vdash S) \rightarrow S)$.

Здесь $S \in A$ читается как "$S$ является синтаксически правильным высказыванием арифметики". Принимаем это за аксиому (в метатеории). Возьмём в качестве $S$ высказывание $G(n)$ для произвольного $n \in \mathbb{N}$. Это - правильное высказывание арифметики, так что никаких проблем. В силу указанной мета-аксиомы имеем
$(\forall n \in \mathbb{N})((A \vdash G(n)) \rightarrow G(n))$.

Поскольку доказано, что:
$(\forall n \in \mathbb{N})(A \vdash G(n))$,

то по правилу модус-поненс из двух указанных выше утверждений получаем:
$(\forall n \in \mathbb{N})G(n)$,
что представляет собой теорему Гудстейна.

Очевидно, к нестандатным натуральным числам этот вывод не относится... В том смысле, что $\forall n$ и $\forall n \in \mathbb{N}$ - это не одно и то же.

[Alexey Romanov]

epros в сообщении #223220 писал(а):

Поскольку доказано, что:
$(\forall n \in \mathbb{N})(A \vdash G(n))$,

Это доказано, но не в Вашей теории. (И это доказательство как раз использует то, чего Вы не хотите допускать в свою теорию.)

Вместо этого я предложил бы Вам рассмотреть арифметику с $\omega$-правилом. ("Из $p(0), p(1), p(2), \ldots$ выводится $$\forall n ~ p(n)$.")