Условный экстремум

[Gortaur]

Подскажите, как решить такую задачу - не могу найти метод с множителями Лагранжа:

$$ \int\limits_0^1{F(f(x),f'(x),x)}{dx} \rightarrow extr $$

при условии

$$ \int\limits_0^1{G(f(x),f'(x),x)}{dx} = 0 $$

Насколько я помню, есть метод с множителями Лагражна для этой задачи (изопериметрической).

[terminator-II]

Гельфанд Фомин Вариационное исчисление

[ИСН]

Лямбда Умножить Сложить дальше-все-само

[Gortaur]

насчет лямбда я догадывался, только дальше что?

Посмотрите задачу,

$$ \int\limits_0^1{e^{g(x)}}{dx} \rightarrow extr $$

условие:

$$ \int\limits_0^1{g(x)}{dx} = 0 $$

у меня из уравнения Эйлера получается, что $g(x) = \log{\lambda}$. Странно как-то...

[sartr14]

попробуйте почитать Эльсгольца "Дифференциальные уравнение и вариационное исчисление" Гл. 9.3. Очень подробно расписан метод решения изопериметрических задач.

[ИСН]

Отчего же странно? Это неправильная задача, она даёт неправильный мёд. У Вас производной вообще нет и вся спина белая. Вы подумайте про это, ну... так, как люди думали до вариационного исчисления. Очевидно же, что максимум не достигается никогда, а минимум - когда $g(x)$ есть константа.

[Gortaur]

хорошо, а если пределы интегрирования бесконечны?

[ИСН]

А тогда амба. Интеграл не будет сходиться вообще - либо первый, либо второй.
Либо оба.

[Gortaur]

Вы хотите сказать, что задача:

$$ \int\limits_{\mathbb{R}}{G(f(x))}{dx} \rightarrow extr $$

при условии:

$$ \int\limits_{\mathbb{R}}{f(x)}{dx} = 1 $$

не имеет решения?

[ИСН]

Постойте, замечание про несходимость касалось вполне конкретного случая, с $e^{g(x)}$.

[Gortaur]

хорошо, как быть в такой задаче, т.е. когда $G$ достаточно хороша для сходимости интеграла.

Получается, что

$$ \frac{d}{df} (G(f) - \lambda f) = G'(f) - \lambda = 0 $$

то есть f - некоторое число, не зависит от $x$ но зависит от $\lambda$. В таком случае условие не проверишь, потому что либо интеграл либо 0 ($f=0$) либо бесконечность ($f\neq 0$).