2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 14:03 
Подскажите, как решить такую задачу - не могу найти метод с множителями Лагранжа:

$$
\int\limits_0^1{F(f(x),f'(x),x)}{dx} \rightarrow extr
$$
при условии
$$
\int\limits_0^1{G(f(x),f'(x),x)}{dx} = 0
$$

Насколько я помню, есть метод с множителями Лагражна для этой задачи (изопериметрической).

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 14:19 
Гельфанд Фомин Вариационное исчисление

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 14:26 
Аватара пользователя
Лямбда Умножить Сложить дальше-все-само
:lol:

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 14:47 
насчет лямбда я догадывался, только дальше что?

Посмотрите задачу,
$$
\int\limits_0^1{e^{g(x)}}{dx} \rightarrow extr
$$
условие:
$$
\int\limits_0^1{g(x)}{dx} = 0
$$
у меня из уравнения Эйлера получается, что $g(x) = \log{\lambda}$. Странно как-то...

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 15:09 
попробуйте почитать Эльсгольца "Дифференциальные уравнение и вариационное исчисление" Гл. 9.3. Очень подробно расписан метод решения изопериметрических задач.

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 15:14 
Аватара пользователя
Отчего же странно? Это неправильная задача, она даёт неправильный мёд. У Вас производной вообще нет и вся спина белая. Вы подумайте про это, ну... так, как люди думали до вариационного исчисления. Очевидно же, что максимум не достигается никогда, а минимум - когда $g(x)$ есть константа.

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 16:03 
хорошо, а если пределы интегрирования бесконечны?

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 16:13 
Аватара пользователя
А тогда амба. Интеграл не будет сходиться вообще - либо первый, либо второй.
Либо оба.

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 16:24 
Вы хотите сказать, что задача:
$$
\int\limits_{\mathbb{R}}{G(f(x))}{dx} \rightarrow extr
$$
при условии:
$$
\int\limits_{\mathbb{R}}{f(x)}{dx} = 1
$$
не имеет решения?

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 16:27 
Аватара пользователя
Постойте, замечание про несходимость касалось вполне конкретного случая, с $e^{g(x)}$.

 
 
 
 Re: Условный экстремум
Сообщение16.06.2009, 16:33 
хорошо, как быть в такой задаче, т.е. когда $G$ достаточно хороша для сходимости интеграла.

Получается, что
$$
\frac{d}{df} (G(f) - \lambda f) = G'(f) - \lambda = 0
$$
то есть f - некоторое число, не зависит от $x$ но зависит от $\lambda$. В таком случае условие не проверишь, потому что либо интеграл либо 0 ($f=0$) либо бесконечность ($f\neq 0$).

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group