Гиперплоскость в векторном пр-ве и линейные функционалы

[merlin]

If Y is a subspace of a vector space X and codim Y=1 then every element X/Y is called a hyperplane parallel to Y. Show that for any linear functional $f \neq 0$ on X the set $H1=\{x \in X :f(x)=1\}$ is a hyperplane parallel to the null space N(f)of f.

Если Y подмножества векторного пространства X и codim Y=1 тогда любой элемент X/Y называются гиперплоскостью, паралельной к Y. Показать,что для любого линейного функционала $f \neq 0$ на X множество $H1=\{x \in X :f(x)=1\}$ гиперплоскость параллельная к нулевому множеству(ядру?) N(f) от f

[Xaositect]

Если $Y$ - подпространство векторного пространства $X$ такое, что $\mathrm{codim}\ Y = 1$, то каждый элемент множества $X/Y$ называется гиперплоскостью, параллельной $Y$. Покажите, что для любого линейного функционала $f$ на $X$, $f\neq 0$, множество $H_1 = \{x\in X| f(x) = 1\}$ является гиперплоскостью, параллельной нулевому подпространству $N(f)$ функционала $f$.

Нулевое подпространство - это действительно ядро.

Понятно ли вам, что такое фактор-множество $X/Y$? Какой вид имеют его элементы?

[merlin]

Элементы X/Y имеют вид x+Y. то есть элементы виды v=x+y;
Cумма их определяется (w+X) + (x+Y) = (w+x)+Y
умножение на число a(x+Y) = ax+Y.

[Xaositect]

Верно.
Осталось представить $H_1$ в виде $x_0 + N(f)$.
Очевидно, что $x_0$ - это просто какая-то точка, в которой $f(x_0) = 1$.
Осталось показать, что любая точка $x$ такая, что $f(x) = 0$ представима в виде $x_0 + v$, $v\in N(f)$ и обратно, любая точка из $x_0 + N(f)$ удовлетворяет равенству $f(x) = 0$. Это просто.

[merlin]

А как же это согласуется с тем что элементы из H1 удовлетворяют f(x)=1?

-- Сб июн 13, 2009 17:12:40 --

Вообще то я думал что H1/N(f) это элементы вида x+y . На которых f(x)=1 и f(y)=0;

[Xaositect]

Стоп.
Вам надо показать, что $H_1$ - это гиперплоскость. Т.е. что $H_1\in X/N(f)$

[merlin]

может f(x0) должно быть 1?

[Xaositect]

Да, я опечатался.

[terminator-II]

не вредно было бы сперва вспомнить, что такое

merlin в сообщении #221821 писал(а):

codim

в зависимости от определения, эта задача может быть тривиальной либо очень тривиальной

[merlin]

codim Y = dim(X/Y)

[terminator-II]

merlin в сообщении #221844 писал(а):

codim Y = dim(X/Y)

тогда она тривиальна без "очень"

[merlin]

И как же ее тривиально доказать?

[terminator-II]

merlin в сообщении #221846 писал(а):

И как же ее тривиально доказать?

ну надо доказать, что $X=\mathrm{ker}\,f\oplus\mathrm{span}\,( y)$ где $y$ -- любой элемент, такой, что $f(y)\ne 0$
действительно, берем $x\in X$ ясно, что $x-\frac{f(x)}{f(y)}y\in \mathrm{ker}\,f$ ok
поэтому $\mathrm{codim}\,\mathrm{ker}\,f=1$