Помогите решить задачи по теоретической ядерной физике.

[XenoX]

Буду очень признателен, если кто-нибудь может помочь решить задачи из курса "Теортетический практикум по атомной и ядерной физике под редакцией В.В. Балашова"
Задачи номер 1.25-1.27
Ниже попытаюсь их написать:
Задача 1.25:
Вычислить матричные элементы
$<j_1j_2;J \left| \left( \hat\sigma_1 \hat\sigma_2 \right) \right| j_1^,j_2^,;J^,> , <l_1s_1;j_1 \left| \left( \hat{l} \hat{s} \right) \right|l_2s_2;j_2>$, где $j_i = \hat{l_i} + \hat{s_i}$
Задача 1.26:
Вычислить спиновую часть матричного элемента тензорных сил........ $<l_1l_2LS:J\left| \frac {\left( \hat\sigma_1r_{12} \right) \left(\hat\sigma_2r_{12} \right)} {r_{12}^2} - \frac 1 3 \left( \hat\sigma_1 \hat\sigma_2 \right) \right|l_1^,l_2^,L^,S^, : J^,>$
Сформулировать правила отбора.
Указание: выразить оператор тензорных сил в виде скалярного произведения двух тензоров второго ранга $L^{(2)}$ и $E^{(2)}$, где $L_q^{(2)} = [r_{12} \times r_{12}]_q^{(2)} ; \hat{E}_q^{(2)} = [\hat\sigma_1 \times \hat\sigma_2]_q^{(2)} ; r_{12} = r_1 - r_2$
Третью задачу пока писать не стал.

[Iliya]

XenoX
Ну поделитесь с нами тем, что Вы делали и что у Вас не получилось.

[XenoX]

Ну как-то так:
$<j_1j_2;J \left| \left( \hat\sigma_1 \hat\sigma_2 \right) \right| j_1^,j_2^,;J^,> = \sum_{LS} \sum_{L'S'} [(2L+1)(2S+1)(2j_1+1)(2j_2+1)]^{\frac 1 2}{(2L'+1)(2S'+1)(2j'_1+1)(2j'_2+1)]^{\frac 1 2} $$\left(\begin{array}{ccc} l_1 & l_2 & L\\ s_1 & s_2 & S\\ j_1 & j_2 & J \end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{ccc} l'_1 & l'_2 & L'\\ s'_1 & s'_2 & S'\\ j'_1 & j'_2 & J' \end{array}\right)$$<LS:JM \left| \left( \hat\sigma_1 \hat\sigma_2 \right) \right|L'S':J'M'><LS:JM \left| \left( \hat\sigma_1 \hat\sigma_2 \right) \right|L'S':J'M'> = - <LS:JM \left| \left( \hat\sigma_1^1 \otimes \hat\sigma_1^2 \right)_{oo} \right|L'S':J'M'> 3^{- \frac 1 2 } = -3^{- \frac 1 2 } \delta_{LL'}(-1)^{L'+J-S'}\prod_{JO}C_{JM'oo}^{JM}$$\left(\begin{array}{ccc} S' & L' & J\\ J & 0 & S \end{array}\right)$$\sum_{S''}$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ S' & S & S'' \end{array}\right)$$<S||\hat\sigma_1^1||S''><S''||\hat\sigma^2_1||S'> $ далее $ <l_1s_1;J_1 \left| \left( \hat{l} \hat{s} \right) \right|l_2s_2;J_2> = 3^{- \frac 1 2 }<l_1s_1;J_1 \left| \left( \hat{l_1} \otimes \hat{s_1} \right)_{oo} \right|l_2s_2;J_2> = \prod_{oJ_2}C_{J_2M_2oo}^{J_1M_1}$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ l_1 & s_1 & J_1\\ l_2 & s_2 & J_2 \end{array}\right)$$<l_1||\hat{l_1}||l_2><s_1||\hat{s_1}||s_2>
Не знаю на сколько правильно, но всё равно что делать дальше? Вторую задачу, да и третью пока не знаю как начать даже.

[Хет Зиф]

XenoX
Во втором случае если вы имеете ввиду что это состояния с суммарным спином , моментом , и общим моментом, и считаете базис ортогональным, то:

$$\langle l_{1}s_{1}j_{1} |(\hat{l}\hat{s}) |l_{2}s_{2}j_{2} \rangle= \langle l_{1}s_{1}j_{1} |\frac{1}{2}(j^2 -l^2-s^2) |l_{2}s_{2}j_{2} \rangle= \frac{1}{2}(j_{2}^2-l_{2}^2-s_{2}^2)\langle l_{1}s_{1}j_{1} |l_{2}s_{2}j_{2} \rangle$$

А вообще меня смущает обозначения Вашего первого матричного элемента. Не могли бы вы дать ссылку на ваш задачник?

[XenoX]

На самом деле я уже сделал 1.25 почти сделал 1.26, осталось только 1.27
2 Хет Зиф
Я могу выслать его вам на мыло т.к. не знаю есть ли он где-нибудь в сети. А что именно вас смущает?
p.s. И насколько я понимаю, там в ответе должны фигурировать коэфициенты Клебши-Гордана.

[Хет Зиф]

XenoX
Ага вышлите пожалуйста на [e-mail]
Меня немного смущает форма записи вектора состояния.

[XenoX]

Хет Зиф
Отправил.

[Хет Зиф]

XenoX
Меня смущало отсутствие проекции общего момента в состоянии, ну я так понимаю что она все таки подразумевается. Ну тогда по идее вы делали все в верном направлении. А вообще жуткая вещь, не пойму зачем это нужно учиться считать

[XenoX]

Возник у меня ещё один вопрос из того же задачника, но новую тему не стал заводить, поэтому продолжаю эту.
Итак задача 1.4:
Два электрона находятся в f - оболочке атома $(l_1=l_2=3)$. Выяснить, какие значения полного орбитального момента совместимы с полным спином S = 0 и S = 1. Провести аналогичное рассмотрение возможных состояний конфигураций $pf (l_1=1, l_2=3)$. В чём заключается различие между этими двумя случаями?

Знаю, что задача не очень сложная, но что-то меня на не клинит, подскажите как решать или в каком направлении двигаться.

[photon]

Переехали