Приближение функции, разложенной в ряд Фурье

[Uxmal]

Есть $f(x)=\frac {f_0} 2 + \sum \limits_{n=1}^\infty {{f_n} \cos {\frac {\pi n x} l}$; есть зависящая от $m$ параметров $g(x,p_1,...,p_m)=\frac {g_0} 2 + \sum \limits_{n=1}^\infty {{g_n}(p_1,...,p_m) \cos {\frac {\pi n x} l}$.

Нужно найти $p_i, i=\overline{1,m}$, чтобы $I=\int\limits_a^b(f(x)-g(x))^2dx$ было минимальным.
Идея состоит в том, чтобы составить систему равенств начальных коэффициентов Фурье$f_i=g_i,i=\overline{0,m-1}$ и решить ее относительно параметров. Будет ли тогда $I$ минимальным? Вроде бы самые весомые гармоники уничтожатся.
Подойдет ли такой метод, если $f(x)=\frac 1 2 + \frac 1 2 \cos {\frac {\pi x} l}$, т.е. все $f_i=0, i>1$ ? Посоветуйте, плиз, какую-нибудь литературу, а то не представляю как интегрировать квадрат ряда Фурье.

[ewert]

Uxmal в сообщении #221571 писал(а):

Будет ли тогда $I$ минимальным?

Будет.

Uxmal в сообщении #221571 писал(а):

не представляю как интегрировать квадрат ряда Фурье

Этот интеграл равен умноженной на половину длины сумме квадратов коэффициентов (равенство Парсеваля).

[Gafield]

ewert в сообщении #221572 писал(а):

Будет.

Почему? если $[a,b]$ период, то нужно минимизировать $\sum_{n=1}^\infty(f_n-g_n(p_1,\ldots,p_m))^2$ по $p_i$.

[ewert]

Gafield в сообщении #221587 писал(а):

ewert в сообщении #221572 писал(а):

Будет.

Почему? если $[a,b]$ период, то нужно минимизировать $\sum_{n=1}^\infty(f_n-g_n(p_1,\ldots,p_m))^2$ по $p_i$.

Да, я невнимательно прочитал -- почему-то показалось, что приближается конечной суммой.

[Uxmal]

А если $[a,b]$ - произвольные, не период, ведь тогда равенство Парсеваля не выполняется?

[ewert]

Не выполняется. Но тогда и этот ряд -- не Фурье.

(кстати, длина промежутка в данном случае -- не период, а полупериод)