Окрестность и предел. [Вопрос решен]

[Brian]

Здравствуйте.

Начну с того, что в принципе мне хорошо понятно, что такое предел. Очень многие задачи в своём учебнике благополучно решил, но возникла проблема. Во всех примерах задач доказательство существоваия предела осуществляется с помощью окрестности предела и окрестности точки куда стремится предел. По всей видимости мне не понятно, что же по сути такое окрестность. Вот пример из учебника:

Доказать, что

$$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over n} = 0$$$

Требуется найти окрестность

$$ + \infty $$

такую, что если $$$n \in V_M ( + \infty )$$ $ т.е. n>M, то должно выполнятся $$$ \left| {{1 \over n} - 0} \right| < \varepsilon $$ $ Если выполняется

$$ n > {1 \over \varepsilon } $$

то

$$ {1 \over n} < \varepsilon $$

Это и означает, что предел равен нулю.

Всё по порядку, то-что предел равен нулю это очевидно, но вот тут я не могу понять:
$$$ \left| {{1 \over n} - 0} \right| < \varepsilon $$ $
Интуитивно понятно, что

$$ {1 \over n} $$

не будет равен в точности нулю, но будет к нему приближатся очень близко. По этому его сравнивают с некой окрестностью чтобы определить, достаточно ли близко он подошел к к такой точке, которой можно считать пределом.

Но ведь окрестность может быть сколь угодно большая... т.е. окрестность предела (точки 0 куда стремится последовательность)

$$ U_\varepsilon (0) $$

Может содержать в себе допустим, -1, 0, 1... или нет?

Вот другой пример, который возможно яснее выразит мою запутанность:

$$$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{n + 2} \over {n + 3}} = 1 $$$

Опять же, сомнений в том, что предел не является 1 не возникает. Но вот посмотрите:
$$$ \left| {{{n + 2} \over {n + 3}} - 1} \right| < \varepsilon $$ $
Ясно что
$\left| {{{n + 2} \over {n + 3}} - 1} \right| $$ будет меньше еденицы, т.е. неравенство верное. Но ведь насколько мне понятно в окрестность ноля могут входить и числа отличное от ноля и тогда неравенство может быть неверным...

[ewert]

Brian в сообщении #221482 писал(а):

Ясно что
$\left| {{{n + 2} \over {n + 3}} - 1} \right| $$ будет меньше ноля, т.е. неравенство верное.

Я чего-то ничего не понял, но ясно одно: что никакой вообще модуль не может быть меньше ноля. А это означает, что в определение предела Вы явно не вчитались.

[Виктор Викторов]

Brian!
Может быть, Вы для начала дадите определение предела последовательности? Тогда и база для разговора появится.

[Brian]

Виктор Викторов в сообщении #221487 писал(а):

Brian!
Может быть, Вы для начала дадите определение предела последовательности? Тогда и база для разговора появится.

С удовольствием, заодно расскажу, что мне не понятно.

Окрестностью точки

$$x_0$$

назовём любой интервал (a,b), содержащий эту точку.

Насколько мне понятно, окрестность точки

$$x_0$$

будет

$$ a < x_0 < b $$

Постараюсь проиллюстрировать пример,

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over n} = 0$$

По определению предела, Точка А называется пределом функции f при x стремящаяся к

$$x_0$$

, если для всякой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки

$$x_0$$

такая, что для всякой точки х, принадлежащей к проколотой окрестнсти

$$x_0$$

, имеет место включение

$$f(x) \in U(A)$$

на нашем примере

$${1 \over n}$$

Я себе это представляю так:
Если для всякого c<A<d существует окрестность точки

$$x_0$$

в нашем случае

$$\{ q < \infty < e\} /\infty $$

, что для всякой точки х в этой проколотой окрестности, имеет включение

$$f(x) \in U(A)$$

Я не могу понять, что имеется ввиду словами "если для всякой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки x0"
Как они связывают окрестность точки А, т.е. в нашем случае c<1<d и

$$\{ q < \infty < e\} /\infty $$

?

ewert в сообщении #221484 писал(а):

Brian в сообщении #221482 писал(а):

Ясно что
$\left| {{{n + 2} \over {n + 3}} - 1} \right| $$ будет меньше ноля, т.е. неравенство верное.

Я чего-то ничего не понял, но ясно одно: что никакой вообще модуль не может быть меньше ноля. А это означает, что в определение предела Вы явно не вчитались.

Извиняюсь, конечно же это опечатка... Я имел ввиду меньше еденицы.

[CowboyHugges]

Brian, А зачем Вам определение предела функции, если у Вас последовательность

-- Пт июн 12, 2009 11:20:51 --

Brian в сообщении #221524 писал(а):

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over n} = 0$$

Ну и собственно, что это значит, у Вас $x$ к чему-то стремится или всё-таки $n$

[Brian]

CowboyHugges в сообщении #221529 писал(а):

Brian, А зачем Вам определение предела функции, если у Вас последовательность

-- Пт июн 12, 2009 11:20:51 --

Brian в сообщении #221524 писал(а):

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over n} = 0$$

Ну и собственно, что это значит, у Вас $x$ к чему-то стремится или всё-таки $n$

Честно говоря, в моём учебнике только такое определение даётся... Хотя пределы там как для последовательностей так и для функций.
Ну и естественно там должно быть n-> вместо x->, снова опечатка... сейчас исправлю.

[CowboyHugges]

Brian, нет, ну в принципе можно конечно рассмотреть последовательность, как функцию от натурального числа, потом показать что $\infty$ точка сгущения и т.д Но лучше воспользоваться:
Число $a$ называется пределом последовательности $x_n$ если для каждого положительного числа $\epsilon$ существует такой номер $N$, что все значения $x_n$ при $n>N$ удовлетворяют неравенству $|x_n-a|<\epsilon$

[Виктор Викторов]

Brian в сообщении #221524 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #221487 писал(а):

Brian!
Может быть, Вы для начала дадите определение предела последовательности? Тогда и база для разговора появится.

Окрестностью точки $x_0$ назовём любой интервал (a,b), содержащий эту точку.
Насколько мне понятно, окрестность точки $x_0$ будет $a< x_0 < b$
Постараюсь проиллюстрировать пример, $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {1 \over n} = 0$
По определению предела, Точка А называется пределом функции f при x стремящаяся к $x_0$ , если для всякой окрестности точки А существует проколотая окрестность точки $x_0$ такая, что для всякой точки х, принадлежащей к проколотой окрестнсти $x_0$, имеет место включение $f(x) \in U(A)$

Вы пишите про предел функции, а я просил Вас дать определение предела последовательности.
Определение. Последовательность это функция натурального аргумента.
Пример: {2, 4, 6, ..., 2n, ...} n - натуральное число (а Вы дайте контр-пример, т. е. функцию, но не последовательность).
А теперь, дайте определение предела последовательности.

[Brian]

Мне посоветовали учебник Фихтеногольца. Я прочитал и всё стало намного яснее. Тему можно считать решенной.