ТФКП: найти образ полосы при отодражении w = ctg z

[LenaS]

Помогите решить:
Найти образ полосы $0<y<\pi$ при отображении $\omega=\ctg z$?

Сначала я расписала $\omega= \frac {\ e^z + e^{-z} } {\ e^z - e^{-z} }
И нашла $u = \frac {\ch x \cdot \sh x } {\sh^2 x +\sin^2 y} $
$v = \frac {-\sin y \cdot \cos y } {\sh^2 x +\sin^2 y} $
Какие следующие действия, чтобы определить образ полосы?

[RIP]

LenaS в сообщении #221449 писал(а):

Сначала я расписала $\omega= \frac {\ e^z + e^{-z} } {\ e^z - e^{-z} }$

Мнимые единицы потеряны. Или там гиперболический котангенс имеется в виду (судя по полосе)?
И ни в коем разе не надо находить действительную и мнимую части. Надо представить искомое изображение в виде суперпозиции каких-нибудь простых и, соответственно, последовательно искать образы. Скажем, изобилие экспонент должно навести на мысль сначала найти образ полосы при отображении $z\mapsto e^{z}$.

P.S. Вроде бы обычно используют букву $w$, а не $\omega$.

[ewert]

Тем более что изображение полосы или вообще прямоугольника экспонентой -- это стандартный пример. А навешанное на неё дробно-линейное преобразование -- тема ещё более стандартная.

[Полосин]

Посмотрите, куда переходит граница.