Продолжимость решения дифф.уравнения

[Padawan]

Есть дифференциальное уравнение $\frac{dw}{dt}=P(w), w(0)=z$, в котором
1) $w$ - комплексное число
2) $t$ - действительное
3) $z$ пробегает круг $|z|\leq1$
4) $P(w)=w+b_2w^2+...+b_nw^n$ - многочлен с комплексными коэффициентами

Хочется найти способ определения наименьшего значения $t=t_0$ , при котором по крайней мере для одной точки $z$ из единичного круга решение $w=w(t,z)$ не продолжается за $t_0$, т.е. найти первую особую точку.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #221257 писал(а):

Есть дифференциальное уравнение $\frac{dw}{dt}=P(w), w(0)=z$, в котором
1) $w$ - комплексное число
2) $t$ - действительное
3) $z$ пробегает круг $|z|\leq1$
4) $P(w)=w+b_2w^2+...+b_nw^n$ - многочлен с комплексными коэффициентами

Хочется найти способ определения наименьшего значения $t=t_0$ , при котором по крайней мере для одной точки $z$ из единичного круга решение $w=w(t,z)$ не продолжается за $t_0$, т.е. найти первую особую точку.

я попробую рассмотреть нарочито тривиальную версию этой конструкции: будем считать, что у многочлена $P$ все коэффициенты действительные; и все корни $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ действительные и различные, и будем искать действительные решения не продолжающиеся по $t$ на все $\mathbb{R}_+$. (Разумеется в этом случае $z$ тоже действительное.)

и так

$$\frac{1}{P(w)}=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{w-\lambda_k}$$

$a_k$ -- действительные числа.
после разделения переменных и интегрирования дифура получим

$$t=\ln\prod_{k=1}^n\Big|\frac{w-\lambda_k}{z-\lambda_k}\Big|^{a_k}$$

По условию задачи, нам нужно решение $w(t)$ такое, что $w(t)\to\infty$ при $t\to t^*-,\quad t^*>0$
такое возможно тогда и только тогда, когда $a_1+\ldots+a_n=0$ в этом случае переходя к пределу при $w\to\infty$ найдем

$$t^*=\ln\prod_{k=1}^n\frac{1}{|z-\lambda_k|^{a_k}}$$

Теперь видно, что требование $t^*>0$ накладывает условия на $z, a_k$ и $\lambda_k$.

принципиальное отличие комплексного случая от разобранного состоит в том, что у решения $w(t)$ может неконтролируемым образом крутиться аргумент в то время как $|w(t)|\to \infty$ при $t\to t^*$. Как обрабатывать эту ситуацию я пока не знаю.

[nn910]

terminator-II в сообщении #221401 писал(а):

тогда и только тогда, когда $a_1+\ldots+a_n=0$ в этом случае переходя к пределу

$a_1+\ldots+a_n=0$ всегда при $2\leq{n}$, доказать можно рассмотрев предел $x/P(x)$при$x\to{\infty}$ действительном. Что дальше я тоже пока не знаю. Спасибо за задачу.

[terminator-II]

nn910 в сообщении #221546 писал(а):

$a_1+\ldots+a_n=0$ всегда при $2\leq{n}$

да, действительно. из чисто алгебраических соображений это верно и в общем комплексном случае

рассмотрим комплексный случай, будем считать, что все корни многочлена $P$ различны. предположим, что решение $w(t)$ определено на интервале $[0,t^*)$ и не продолжаемо за $t^*>0$. найдем $t^*$.
интегррование уравнения дает
$t=\sum_{k=1}^na_k(\ln\Big|\frac{w-\lambda_k}{z-\lambda_k}\Big|+i\mathrm{arg}\,(w-\lambda_k)-i\mathrm{arg}\,(z-\lambda_k)).$ (*)
в силу предположения при $t\to t^*-$ будет $|w(t)|\to\infty$ и поэтому $\mathrm{arg}\,(w-\lambda_k)= f(t)+o(1),\quad k=1,...,n$.

обозначим $a_k=p_k+iq_k$.
разделяя действительную и мнимую части в формуле (*) найдем
$t=\ln\prod_{k=1}^n\Big|\frac{w-\lambda_k}{z-\lambda_k}\Big|^{p_k}-f\sum_{k=1}^nq_k+\sum_{k=1}^nq_k\mathrm{arg}\,(z-\lambda_k)+o(1)$
поскольку, в силу цитированного равенства $\sum_{k=1}^np_k =\sum_{k=1}^nq_k=0$, то
при $|w|\to\infty$ найдем

$$t^*=\ln\prod_{k=1}^n\frac{1}{|z-\lambda_k|^{p_k}}+\sum_{k=1}^nq_k\mathrm{arg}\,(z-\lambda_k).$$

соответственно для того что бы решение с начальным условием $z$ было непродолжаемо, необходимо выполнение неравенства

$$\ln\prod_{k=1}^n\frac{1}{|z-\lambda_k|^{p_k}}+\sum_{k=1}^nq_k\mathrm{arg}\,(z-\lambda_k)>0.$$

[nn910]

terminator-II в сообщении #221762 писал(а):

nn910 в сообщении #221546 писал(а):

$a_1+\ldots+a_n=0$ всегда при $2\leq{n}$

да, действительно. из чисто алгебраических соображений это верно и в общем комплексном случае

обозначим $a_k=p_k+iq_k$.

Значит, независимо от того, каков $b_n$,$q_1+\ldots+q_n=0$ и $p_1+\ldots+p_n=0$ поэтому главный член примененной Вами ассимптотики теряет имя главного...
Решение задачи не всегда существует, а только при специальном расположении корней $\lambda_k$ по отношению к единичному кругу, с учетом старшего коэффициента $b_n$. Возьмем $P(w)=(w-2)(w-3)$, решение задается неявным уравнением

$$e^t=\frac{(w-3)(z-2)}{(w-2)(z-3)}$$

При любом $|z|\leq1$ $w\to 2$при $t\to\infty$, т.е. ограничено и продолжается.
Напротив, непродолжаемое решение обычно есть, когда при $b_n=1$ все корни скучены вблизи отрицательной полуоси. Тогда непродолжаемое решение начинается на правой половине единичной окружности, "проходит через $\infty$ " и приближается к одному из корней. Остальные фазовые траектории в одном из корней "начинаются",в другом "кончаются"(в кратном корне мб начало=конец) но каждая ограничена.
При $n=2$ задача сводится к такой."Выйдет ли решение уравнения

$$\frac{dw}{dt}=w^2 P(\frac{1}{w})$$

с нулевым начальным условием на границу единичного круга и за какое время$t^*$ ?"Теперь можно численно интегрировать при ОДНОМ начальном условии или даже выразить неявную функцию и просчитать. Но как такое сделать при n больше 2? Бесконечность "не особая точка"(?!), перевести ее в 0 и получить дифур в ограниченной области не получается

[terminator-II]

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

Значит, независимо от того, каков $b_n$,$q_1+\ldots+q_n=0$ и $p_1+\ldots+p_n=0$

числа $p_k,q_k$ зависят от $b_n$

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

главный член примененной Вами ассимптотики

формулы содержащие o(1) не надо понимать как асимптотические, явно выписанные слагаемые в этих формулах не обязаны быть главным членом по сравнению с o(1)

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

Решение задачи не всегда существует,

если под решением задачи, Вы подразумеваете непродолжаемое решение, то во всяком случае, конечно, не все решения должны быть непродолжаемыми. (я предполагал данное решение ($w(0)=z)$ непродолжаемым и из этого находил $t^*$).

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

по отношению к единичному кругу

мне непонятно почему единичный круг должен cдесь играть какую-то выделенную роль. а почему не двоичный, например? и почему круг?

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

Тогда непродолжаемое решение начинается на правой половине единичной окружности, "проходит через $\infty$ " и приближается

если степень многочлена $>2$ то непонятно, что называть решением "проходящим через $\infty$ "

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

Остальные фазовые траектории в одном из корней "начинаются",в другом "кончаются"(в кратном корне мб начало=конец) но каждая ограничена.

а почему Вы исключаете существование предельных циклов, например?

[nn910]

terminator-II в сообщении #221834 писал(а):

мне непонятно почему единичный круг должен cдесь играть какую-то выделенную роль. а почему не двоичный, например? и почему круг?

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

Тогда непродолжаемое решение начинается на правой половине единичной окружности, "проходит через $\infty$ " и приближается

если степень многочлена $>2$ то непонятно, что называть решением "проходящим через $\infty$ "

nn910 в сообщении #221804 писал(а):

Остальные фазовые траектории в одном из корней "начинаются",в другом "кончаются"(в кратном корне мб начало=конец) но каждая ограничена.

а почему Вы исключаете существование предельных циклов, например?

Спасибо что обратили внимание на мои мысли а не только на мысли о Ваших мыслях. Согласны ли Вы со следующим?
1.Можем считать что все корни $P(w)$ лежат строго вне единичного круга.Иначе взяли бы начальное условие равное этому корню, решения дифура нет (!?) и можно класть $t^*=0$ Вопрос действительно требует голосования
2.Можем изменить в постановке задачи единичный круг на единичную окружность.Ведь все траектории уходящие из круга в бесконечность , пересекут окружность и точка пересечения будет еще лучшим начальным условием (с лучшим $t^*$).Постановка стала, кажется, лучше, тк можно ставить и вопрос о нахождении и единственности оптимального начального условия$z^*=w(0)$).Но проголосуйте,а то один решает,другой условие меняет...
3.Мы не сговариваясь не обращали внимание на случай кратных корней- без них бы решить.Возможно формулу для $t^*$ можно будет тогда получить предельным переходом. Хотя если 2 корня сближать, соответствующие им $a_k$стремятся к бесконечности.
4. $a_k$ для полинома $P(w)=b_0+\ldots+b_nx^n$,не имеющего кратных корней, определяются как коэффициенты разложения $1/P(w)$ на простейшие дроби. Они же вычеты $1/P(w)$.Благодаря тому что в числителе разлагаемой дроби 1, а не произвольный (n-1)-полином, можно вывести $a_1+\ldots+a_n=0$,[ math]$a_1\lambda_1+\ldots+a_n\lambda_n=0$[/math] и тп
5. У полинома $P(w)=(w-2)(w-3)$ единственная неограниченная фазовая кривая. Она (случайно) имеет общие точки с единичным кругом(действительный диаметр),но для всякого z из этого диаметра решение ДУ идет к точке 2. Т.е. $t^*$ не существует. И таких полиномов полно. Например $(w-c)^2$требует $|Imc|\leq1$и $Rec\leq0$ иначе $t^*$ не существует- Вы легко выведете это
6.Отсутствие предельных циклов не доказываю (зачем?)Просто для полиномов таких случаев не зарегистрировано.
7.С Вашим решением бы поиграть, оценить inf выражений по z из единичного круга. Но конец предсказуем -далеко не всегда $t^*$ существует, а когда существует- не оценивается, а когда оценивается -не считается, а если считается -не через то что дано

[Padawan]

Спасибо за ответы!

Поясню, откуда взялся вопрос.
При каждом фиксированном $t$ решение $w=w(z,t)$ будет представлять собой однолистное конформное отображение единичного круга, а если его нормировать, взяв $e^{-t}w(z,t)$, то получится отображение класса $S$. Нетрудно показать, что таким образом с любой наперед заданной точностью можно аппроксимировать любое такое конформное отображение. Тейлоровские коэффициенты этого отображения $w(z,t)=a_1(t)z+a_2(t)z^2+...$ легко выражаются через $t$ и коэффициенты многочлена $P$ ( вообще это может быть любая аналитическая функция, но я для простоты взял многочлен, чтобы можно было в "явном" виде интегрировать). Если бы знать оценки для $t^*$ , то можно было бы оценить коэффициенты $a_1, a_2, ... $ а значит и коэффициенты отображений класса $S : z+c_2z^2+...$. Я хотя бы хочу получить простейшую оценку $|c_2|\leq 2$, в терминах $t^*$ это означает $t^*\leq ln(1+2/b_2)$ ! От более старших $b$ эта оценка не зависит! Интересно бы доказать.

В самом деле, интерес представляют $z$ только с граничной окружности.

Предельных циклов у такого уравнения быть не может. Даже если $P$ - произвольная аналитическая функция. Допустим есть предельный цикл, тогда он сам должен быть решением. Тогда векторное поля $P(z)$ касается этого цикла, т.е. на цикле $P(z)$ сонаправлено с $dz$ , тогда $P(z)dz>0$, что противоречит интегральной теореме Коши. У нас область односвязная.

Интересное наблюдение : только из конечного числа точек на окружности $|z|=1$ траектории могут уходить в бесконечность. А траектории, выходящие из оставшихся точек видимо стремятся к одному из $\lambda$ - нулей $P$.

Да, можно ограничиться только многочленами с простыми корнями. Более того можно считать, что все они (кроме конечно $\lambda_0=0$ лежат вне окружности. Но это по-моему не принципиально - не облегчит. Да и хотелось бы оценку $t^*$ для любого многочлена.

А почему если начинается в корне решения нет? Наоборот очень даже есть $\equiv const$.

Может попробовать рассматривать комплексные $t$?

-- Пн июн 22, 2009 20:21:37 --

[quote
$\mathrm{arg}\,(w-\lambda_k)= f(t)+o(1),\quad k=1,...,n$
[/quote]

Тут есть загвоздка . К разным $\lambda_k$ может добавиться разное кратное $2\pi$.

Плохо что в конечной формуле всё в одной куче - и корни и коэффиценты разложения на простейшую дробь .. Хотелось бы оценку через коэффициенты многочлена.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

[quote
$\mathrm{arg}\,(w-\lambda_k)= f(t)+o(1),\quad k=1,...,n$


Тут есть загвоздка . К разным $\lambda_k$ может добавиться разное кратное $2\pi$.

загвоздки нет. имеется виду, что при все $\mathrm{arg}\,(w(0)-\lambda_k)$ взяли из промежутка скажем $[0,2\pi]$, а потом $\mathrm{arg}\,(w(t)-\lambda_k)$ стал непрерывно меняться с течением времени

-- Mon Jun 22, 2009 23:09:13 --

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Да и хотелось бы оценку $t^*$ для любого многочлена.

?

[terminator-II]

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Тогда векторное поля $P(z)$ касается этого цикла, т.е. на цикле $P(z)$ сонаправлено с $dz$ , тогда $P(z)dz>0$

последнее неравенство непонятно

[nn910]

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Спасибо за ответы!

При каждом фиксированном $t$ решение $w=w(z,t)$ будет представлять собой однолистное конформное отображение единичного круга, а если его нормировать, взяв $e^{-t}w(z,t)$, то получится отображение класса $S$. Нетрудно показать, что таким образом с любой наперед заданной точностью можно аппроксимировать любое такое конформное отображение.

Не могли бы Вы уточнить, к чему относятся слова ТАКИМ и ТАКОЕ? К предыдущему сложносочиненному предложению(к какой его половине) или последующее и есть "нетрудно показать"? И определение класса S, если можно.

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Предельных циклов у такого уравнения быть не может. Даже если $P$ - произвольная аналитическая функция. Допустим есть предельный цикл, тогда он сам должен быть решением. Тогда векторное поля $P(z)$ касается этого цикла, т.е. на цикле $P(z)$ сонаправлено с $dz$ , тогда $P(z)dz>0$, что противоречит интегральной теореме Коши. У нас область односвязная.

В самом деле, скалярное произведение P(z) и dz действительно и положительно, а комплексное произведение может оказаться любым и интеграл по замкнутому контуру будет равен 0. Хотя я тоже верю в факт отсутствия предельных циклов

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

А почему если начинается в корне решения нет? Наоборот очень даже есть $\equiv const$.

Спасибо и извините за ляп.
Об остальном - надо еще поработать.Численных примеров просчитано полно.Может количество и перейдет в качество.

[Padawan]

Да, с неравенством $P(z)dz>0$ я ошибся. Для многочлена может существовать периодическое решение (но не предельный цикл!) только в одном случае $P(z)=iz$, но у нас не тот случай. Возьмем область, ограниченную замкнутым циклом. Под действием w(z,t) она отображается на себя непрерывно, значит по теореме Брауэра найдется неподвижная точка-внутри контура, т.к. точки контура все перемещаются. Дальше эту область отобразим на круг конформно так, чтобы неподвижная точка перешла в 0. Конформное отображение перенесет в круг и поле $P(z)$ и $w(z,t)$. Но конформное отображение круга на себя с неподвижным центром - это вращение. Отсюда сразу следует, что если замкнутые циклы есть, то они не предельные, а ...не знаю как называется такое в Дифф. Ур. - как вращения.

Отображение класса $S$ - однолистное конформное отображение единичного круга $|z|<1$ вида

$$f(z)=z+c_2z^2+c_3z^3+...$$

т.е. $f(0)=0, f\prime (0) =1$. Гипотеза Бибербаха, доказанная в 1986 (вроде) году утверждает, что для коэффициентов $c_n$ справедлива оценка $|c_n|\leq n$

ТАКИМ способом - через решение дифф. уравнения .
ТАКОЕ отображение - класса $S$

terminator-II Нет, что-то с этой загвоздкой не так... C начальным выбором аргумента?

$t^*$ для данного многочлена - наименьшее критическое значение, по $z$ пробегает единичный круг.

[nn910]

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Я хотя бы хочу получить простейшую оценку $|c_2|\leq 2$, в терминах $t^*$ это означает $t^*\leq ln(1+2/b_2)$ ! От более старших $b$ эта оценка не зависит! Интересно бы доказать.

nn910 в сообщении #221872 писал(а):

5. У полинома $P(w)=(w-2)(w-3)$ единственная неограниченная фазовая кривая. Она (случайно) имеет общие точки с единичным кругом(действительный диаметр),но для всякого z из этого диаметра решение ДУ идет к точке 2. Т.е. $t^*$ не существует.

$b_2=1$ $t^*=\infty$ Контрпример, или обозначения сменились?

[Padawan]

у вас $P(w)=6-5w+w^2$ а я рассматриваю "нормированные" многочлены $P(w)=w+b_2w^2+...$

[terminator-II]

Padawan в сообщении #224292 писал(а):

terminator-II Нет, что-то с этой загвоздкой не так... C начальным выбором аргумента?

аргументы в нач. момент времени можно брать из любого отрезка длины $2\pi$ можете убедиться, что значение $t^*$ не изменится если ко всем аргументам добавить одну и туже константу