Продолжимость решения дифф.уравнения

[nn910]

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Я хотя бы хочу получить простейшую оценку $|c_2|\leq 2$, в терминах $t^*$ это означает $t^*\leq ln(1+2/b_2)$ ! От более старших $b$ эта оценка не зависит! Интересно бы доказать.

Наверное $b_2$ все-таки по модулю?
Пример на всякий случай.$P(w)=w-2,5w^2+w^3=w(w-0,5)(w-2)$ Интеграл уравнения

$$e^{2t}=\dfrac{w^2(w-2)(z-0,5)^3}{z^2(z-2)(w-0,5)^3}$$

, откуда $t^*=0,5\ln9/8$ при$z^*=-1$

[nn910]

Padawan в сообщении #224035 писал(а):

Может попробовать рассматривать комплексные $t$?

Мы их давно и рассматриваем $T(w,z)$ -неявная функция $w=w(t,z)$, где справа решение ДУ с НУ.Начиная с:

terminator-II в сообщении #221762 писал(а):

$t=\sum_{k=1}^na_k(\ln\Big|\frac{w-\lambda_k}{z-\lambda_k}\Big|+i\mathrm{arg}\,(w-\lambda_k)-i\mathrm{arg}\,(z-\lambda_k)).$ (*)

Если не предполагать что w непродолжаемо,то t будет комплексным.Однозначно определим

$$T(w,z)=\int_z^w\dfrac{dw}{P(w)}$$

для всякого z с единичной окружности и пути от z к w в связной односвязной области с разрезами. Моя новость в том, что наложил бы несколько условий на разрезы,оставив некоторую свободу.
1. n-1 разрезов -замыкания фазовых траекторий уравнения, "начинающиеся" в одном корне (с $Rea_i>0$) и стремящиеся к другому корню (с $Rea_j<0$) Что до корней с чисто мнимыми вычетами 1/Р, то для Р из S они также должны быть либо "испускающими", либо "собирающими", но, как и кратных корней, проще считать, что их нет.
2. Еще один разрез -от бесконечности до одного из собирающих корней- определим как "продолжение" непродолжаемой траектории $w(t,z^*)$ следующим образом.Непродолжаемая траектория, как мы согласились, локально уникальна.Значит при всяком t кроме $t^*$ конечен $\lim_{z\to z^*} w(t,z)$Множество этих пределов при t из $(t^*,\infty)$будет фазовой траекторией из бесконечности в один из собирающих корней и примем ее за n-й разрез
Предельным переходом при $w\to\infty$ можно получит разные формулы для $t^*$, например

$$t^*=\sum^{n-1}_1a_i\int_1^{-z/\lambda_i}\dfrac{dz}{z}-\int_0^zdz(\dfrac{1}{P(z)}-\dfrac{1}{z})$$

где интегралы берутся по любому пути не пересекающему разрезы, а z -любое из конечного набора точек единичной окружности, при котором значение правой части будет действительным