Взять интеграл

[Uxmal]

Как свести $ \int_0^{\infty} {{\frac {\sin \alpha x} x}{\frac {\sin \beta x} x} dx} $ к $\int_0^{\infty} {{\frac {\sin \alpha x} x} {\cos \beta x} dx$? Что ни пробовал, все приводит к усложнению.

[ewert]

Продифференцировать по бета (правда, придётся повозиться с оправданиями).

[Полосин]

А если нужно просто вычислить, то, например, по частям:

$$ \int_0^{+\infty}\sin(\alpha x)\sin(\beta x)x^{-2}dx=\int_0^{+\infty}\sin(\alpha x)\sin(\beta x)d(-1/x)=... $$

[Uxmal]

Интегрирование по частям все получилось, спасибо. А вот дифференцирование по бета - интересно:
$I'(\beta)=\int_0^{\infty}{{\frac {\sin \alpha x} x} \cos \beta x dx = \left\{\begin{array}{1} \frac \pi 2 , \beta<\alpha, \\ \frac \pi 4 , \beta=\alpha, \\ 0, \beta>\alpha \end{array}\right $

А правильный результат $I(\beta)=\left\{\begin{array}{1} {\frac \pi 2}\beta, \beta \leqslant \alpha, \\ {\frac \pi 2}\alpha, \beta \geqslant \alpha \end{array}\right$

Где ошибка?

[ИСН]

Ну. И что. Всё сходится. Функция такая, а производная от неё - вот такая.

[Uxmal]

Все равно не понял. Цель метода дифференцирования - получить решение. Если просто проинтегрировать $I'(\beta)$, то получим явно неправильный результат, особенно ${\frac \pi 2}\alpha $ (зависящее не от $\beta, a $ от $\alpha$) для $\beta \geqslant \alpha$

[ewert]

У Вас производная -- это ступенька. Соответственно, интеграл от неё -- это кусочно-линейная функция (фактически постоянная слева).

[nn910]

Uxmal в сообщении #221120 писал(а):

Все равно не понял. Цель метода дифференцирования - получить решение. Если просто проинтегрировать $I'(\beta)$, то получим явно неправильный результат, особенно ${\frac \pi 2}\alpha $ (зависящее не от $\beta, a $ от $\alpha$) для $\beta \geqslant \alpha$

Предыдущиеавторы правы и получили Вам ${\frac \pi 2}\beta +C_1 $ при $\alpha\geqslant \beta $ Так же дифференцируя по$\alpha $ получим ${\frac \pi 2}\alpha +C_2 $ при $\beta\geqslant \alpha $ Считая интеграл непосредственно при$\beta=\alpha$ доказывается $C_1=0 C_2=0$

[Uxmal]

Хорошо, а как в данном случае от известной производной $I'(\beta)$ вернуться к самому значению $I(\beta)$?

[Uxmal]

Спасибо, разобрался