Предел функции

[NewMember]

Добрый день!
Помогите, пожалуйста, найти предел функции при $x \to 0$

$${(\frac{1+6x+5x^2}{1-3x-x^2})}^{-\frac3x}$$

Мои мысли: так как имеем степень, пробовал привести ко второму замечательному пределу

$$(1+\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2})$$

но дальше никак.
Числитель и знаменатель можно разложить на множители, но это тоже не помогает

$$\frac{(\frac1x+3)^2-4}{(\frac1x-\frac32)^2-\frac{13}{4}}$$

Попытка применить правило Лопиталя приводит к нагромождению логарифмов, в котором трудно разобраться.
Какие еще могут быть идеи?

[ewert]

NewMember в сообщении #220249 писал(а):

Попытка применить правило Лопиталя приводит к нагромождению логарифмов, в котором трудно разобраться.

Никакого нагромождения. В числителе у Вас будет разность логарифмов, в знаменателе -- икс, и после первого же дифференцирования получится разность простеньких дробей.

А можно и через второй замечательный предел. Домножьте и разделите показатель на ту дробь, которая у Вас добавилась к единичке внутри скобок.

[Nxx]

Предел подстепенного выражения равен -5. -5 в нулевой степени чему равно?

[ewert]

Nxx в сообщении #220283 писал(а):

Предел подстепенного выражения равен -5. -5 в нулевой степени чему равно?

Это что ещё за пятёрка такая?...

(ответ, естественно, $e^{-27}$)

[Geremy]

Или можно прологарифмировать выражение , и воспользоваться эквивалентным выражением $ln(1+x)=x $, при $x->0$.

[Nxx]

ewert в сообщении #220291 писал(а):

Nxx в сообщении #220283 писал(а):

Предел подстепенного выражения равен -5. -5 в нулевой степени чему равно?

Это что ещё за пятёрка такая?...

(ответ, естественно, $e^{-27}$)

Сори, не обратил внимание, что большие степени х стоят справа, а не слева.

[CowboyHugges]

Nxx в сообщении #220310 писал(а):

Сори, не обратил внимание, что большие степени х стоят справа, а не слева.

А какая разница где стоят "большие степени", или если бы они стояли слева, то можно бы было отдельно вычислять пределы основания и показателя степени?

[Nxx]

А почему нет?

[NewMember]

Спасибо, после умножения и деления показателя на дробь действительно быстро решается.

Цитата:

Никакого нагромождения. В числителе у Вас будет разность логарифмов, в знаменателе -- икс, и после первого же дифференцирования получится разность простеньких дробей.

А каким образом получается разность логарифмов? Я дифференцировал числитель и знаменатель по формуле

Там даже не удается избавиться от этих многочленов, только множители новые появляются.

[Geremy]

$e^{-\frac{3}{x}ln \frac{1+6x+5x^2}{1-3x-x^2}}=e^{-\frac{3}{x}(6x+5x^2-(-3x-x^2))}=e^{-27-18x}$

по свойству логарифма : $ln \frac{1+6x+5x^2}{1-3x-x^2}=ln(1+6x+5x^2) - ln(1-3x-x^2)$. Используя эквиваленцию получаем: $6x+5x^2-(-3x-x^2)$

[ewert]

NewMember в сообщении #220638 писал(а):

А каким образом получается разность логарифмов?

Тривиально:

$$\ln\left(\frac{1+6x+5x^2}{1-3x-x^2}\right)^{-\frac3x}=-3\cdot\frac{\ln(1+6x+5x^2)-\ln(1-3x-x^2)}{x}.$$

Теперь -- тупо лопиталить.

[Cave]

После разности логарифмов второй замечательный предел просится.

[demonafi]

Мои мысли: так как имеем степень, пробовал привести ко второму замечательному пределу...

теперь возьми (-3/x) умнож и раздели на то что без единицы, после заменишь на e замечательный предел, а степень сократит x и получих предел без определенностей, еxp(-3*(9+6*x)/(1-3*x-x^2))!
ответ: exp(-27)
надеюсь ясно изьясняю!

[AKM]

demonafi,

наберите, пожалуйста, формулы в формате TeX.
Примеры и правила см. здесь.

[demonafi]

Мои мысли: так как имеем степень, пробовал привести ко второму замечательному пределу...
$ 1+\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2}$

теперь возьми степнь $\frac{-3}{x}$ умнож и раздели $\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2}$, после

$ {(1+\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2})^{(\frac{-3}{x}\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2}\frac{1-3x-x^2}{9x+6x^2})}$

заменишь на e замечательный предел

$ {(1+\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2})^{(\frac{1-3x-x^2}{9x+6x^2})}$,

получишь

$ {e^{(\frac{-3}{x}\frac{9x+6x^2}{1-3x-x^2})}$,

дальше просто и легко...сократишь x и получишь после подстановки нуля ответ
: ${e^{-27}}$

на заменку, так делаются большинство пределом с такой неопределенностью

надеюсь ясно изьясняю!