Интеграл в смысле Коши [int cos(bx)/(a^2-x^2) x=0...inf]

[Pyphagor]

Доказать, что $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(x\beta)}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2a}\sin(a\beta)$, ($a>0$), где интеграл понимается в смысле главного значения Коши. Как действовать?

[ewert]

Распространить на всю ось, и -- по вычетам.

(кстати, ответ верен только при $\beta\geqslant0$)

[Pyphagor]

Нет, без выхода в комплексную плоскость.

-- Пн июн 08, 2009 16:32:32 --

Вот еще один под вопросом - $\int\limits_{0}^{\pi} xtgxdx$. Не могу найти первообразную.

[Gordmit]

Pyphagor в сообщении #220611 писал(а):

Доказать, что $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(x\beta)}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2a}\sin(a\beta)$, ($a>0$), где интеграл понимается в смысле главного значения Коши. Как действовать?

Аналогичные примеры подробно разобраны в книге: Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. — Задачи и упражнения по математическому анализу (книга 2) издания 2000 г.
Если этой книги под рукой нет, могу посоветовать следующее:
Продифференцируйте Ваш интеграл $I(\beta)$ по параметру $\beta$. Если получившийся интеграл продифференцировать еще раз по $\beta$, то получится уже расходящийся интеграл, поэтому применяется следующий трюк: к нему прибавляется (или вычитается, по ситуации) интеграл

$$\int_0^\infty\frac{\sin\beta x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда интеграл от суммы подынтегральных функций можно будет продифференцировать по $\beta$ еще раз, откуда получится некоторое дифференциальное уравнение на $I(\beta)$.

-- Пн июн 08, 2009 20:07:17 --

Pyphagor в сообщении #220615 писал(а):

Вот еще один под вопросом - $\int\limits_{0}^{\pi} xtgxdx$. Не могу найти первообразную.

Первообразную искать необязательно, чтобы сказать, что этот интеграл расходится. Или он тоже понимается в смысле главного значения по Коши?

[Полосин]

$$ \int_0^{+\infty}\frac{\cos(x\beta)}{a^2-x^2}dx= \frac1{4a}\int_R\frac{\cos(x\beta)}{x+a}dx-\frac1{4a}\int_R\frac{\cos(x\beta)}{x-a}dx= $$

$$ =\frac1{4a}\int_R\frac{\cos((t-a)\beta)-\cos((t+a)\beta)}{t}dt=\frac{\sin(a\beta)}{2a}\int_R\frac{\sin(t\beta)}{t}dt=\frac{\pi\sin(a\beta)}{2a}, \beta>0. $$

$$ I=\int_0^{\pi}x\tg xdx=\int_0^{\pi/2}(2x-\pi)\tg xdx=-2J, $$

$$ J=\int_0^{\pi/2}x\ctg xdx=\int_0^{\pi/4}(x\ctg x+(\pi/2-x)\tg x)dx= $$

$$ =\pi/2\int_0^{\pi/4}\tg xdx+2\int_0^{\pi/4}x\ctg(2x)dx=(\pi/4)\ln2+J/2, $$

$$ J=(\pi/2)\ln2, I=-\pi\ln2. $$