2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл в смысле Коши [int cos(bx)/(a^2-x^2) x=0...inf]
Сообщение08.06.2009, 10:23 
Доказать, что $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(x\beta)}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2a}\sin(a\beta)$, ($a>0$), где интеграл понимается в смысле главного значения Коши. Как действовать?

 
 
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение08.06.2009, 10:28 
Распространить на всю ось, и -- по вычетам.

(кстати, ответ верен только при $\beta\geqslant0$)

 
 
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение08.06.2009, 10:32 
Нет, без выхода в комплексную плоскость.

-- Пн июн 08, 2009 16:32:32 --

Вот еще один под вопросом - $\int\limits_{0}^{\pi} xtgxdx$. Не могу найти первообразную.

 
 
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение08.06.2009, 19:05 
Pyphagor в сообщении #220611 писал(а):
Доказать, что $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\cos(x\beta)}{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2a}\sin(a\beta)$, ($a>0$), где интеграл понимается в смысле главного значения Коши. Как действовать?
Аналогичные примеры подробно разобраны в книге: Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. — Задачи и упражнения по математическому анализу (книга 2) издания 2000 г.
Если этой книги под рукой нет, могу посоветовать следующее:
Продифференцируйте Ваш интеграл $I(\beta)$ по параметру $\beta$. Если получившийся интеграл продифференцировать еще раз по $\beta$, то получится уже расходящийся интеграл, поэтому применяется следующий трюк: к нему прибавляется (или вычитается, по ситуации) интеграл $$\int_0^\infty\frac{\sin\beta x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.$$ Тогда интеграл от суммы подынтегральных функций можно будет продифференцировать по $\beta$ еще раз, откуда получится некоторое дифференциальное уравнение на $I(\beta)$.

-- Пн июн 08, 2009 20:07:17 --

Pyphagor в сообщении #220615 писал(а):
Вот еще один под вопросом - $\int\limits_{0}^{\pi} xtgxdx$. Не могу найти первообразную.

Первообразную искать необязательно, чтобы сказать, что этот интеграл расходится. Или он тоже понимается в смысле главного значения по Коши?

 
 
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение08.06.2009, 19:20 
$$
\int_0^{+\infty}\frac{\cos(x\beta)}{a^2-x^2}dx=
\frac1{4a}\int_R\frac{\cos(x\beta)}{x+a}dx-\frac1{4a}\int_R\frac{\cos(x\beta)}{x-a}dx=
$$
$$
=\frac1{4a}\int_R\frac{\cos((t-a)\beta)-\cos((t+a)\beta)}{t}dt=\frac{\sin(a\beta)}{2a}\int_R\frac{\sin(t\beta)}{t}dt=\frac{\pi\sin(a\beta)}{2a}, \beta>0.
$$
$$
I=\int_0^{\pi}x\tg xdx=\int_0^{\pi/2}(2x-\pi)\tg xdx=-2J,
$$
$$
J=\int_0^{\pi/2}x\ctg xdx=\int_0^{\pi/4}(x\ctg x+(\pi/2-x)\tg x)dx=
$$
$$
=\pi/2\int_0^{\pi/4}\tg xdx+2\int_0^{\pi/4}x\ctg(2x)dx=(\pi/4)\ln2+J/2,
$$
$$
J=(\pi/2)\ln2, I=-\pi\ln2.
$$

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group