2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 14:21 


08/06/09
14
Доброе время суток, уважаемые форумчане!
Помогите, пожайлуста, разобраться с решением задачи по нелинейному программированию!
Ее необходимо решить двумя способами: методом множителей Лагранжа и графически. Но ограничения представляют собой неравенства. При введении дополнительных искусственных переменных не могу разобраться, каковы условия условного экстремума.Графически - вообще понять не могу((

-- Пн июн 08, 2009 15:26:25 --

Нужно найти экстремум функции $x_1 + 3x_2 $
при ограничениях
$ x_1^2+x_2^2 \ge 25 $
$ x_1 x_2\ge 4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 14:34 


02/11/08
1193
Графически. Начните с того, что нарисуйте область допустимых значений и линии уровня целевой функции.
А с множителями Лагранжа придется добавить переменные $x_3$, $x_4$ в неравенства и превратить их в равенства - и составить функцию Лагранжа добавив полученные равенства в целевую функцию с двумя множителями Лагранжа - здесь на форуме поищите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 14:37 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  А что, так трудно и непонятно --- набрать $x_1 + 3x_2 $? Или $ x_1^2+x_2^2 \ge 25 $ ($ x_1^2+x_2^2 \ge 25  $)?
Да, будет эта самая c'est la vie, делать исключения нет оснований.

Используйте кнопку Изображение для редактирования своего сообщения. И в карантине тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 14:43 


08/06/09
14
Спасибо, Yu_K
По области допустимых значений еще вопрос - следует рассмотреть ограничения как внешнюю область гиперболы и окружности? Или эти условия задают линии уровня поверхностей второго порядка? Потому как на плоскости область ограничений получается неограниченной...

-- Пн июн 08, 2009 15:46:33 --

Прошу прощения, уважаемый AKM! Но решить задачу мне надо было еще вчера((

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 14:52 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  В выходные форум работал. Переезжаем в карантин.
Бытовуха в данной ветке --- оффтопик.

В теме Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться так же описано, как исправлять ситуацию.

Возвращено.

Возможно, Вам мешает флажок "Отключить в этом сообщении BBCode". Его не должно быть (проверьте свои настройки).
Достаточно окружить формулу долларами. [mаth]...[/mаth] вставится автоматически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 15:52 


08/06/09
14
AKM, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 15:59 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Yu_K в сообщении #220682 писал(а):
Графически. Начните с того, что нарисуйте область допустимых значений и линии уровня целевой функции.

Т.е. нарисуйте линии
$$\begin{array}{l}
\ldots\\
x_1+3x_2=-1\\
x_1+3x_2=0\\
x_1+3x_2=1\\
x_1+3x_2=2\\
x_1+3x_2=3\\
\ldots
\end{array}
$$
Какие из них (может, и не перечисленные здесь) попадают в рабочую область?
Какие попадают "экстремально"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:03 


08/06/09
14
линии-то я рассмотрела. А как быть с неограниченностью рабочей области? Для задач нелинейного программирования неограниченность не требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:08 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Yu_K в сообщении #220682 писал(а):
А с множителями Лагранжа придется добавить переменные $x_3$, $x_4$ в неравенства и превратить их в равенства - и составить функцию Лагранжа добавив полученные равенства в целевую функцию с двумя множителями Лагранжа - здесь на форуме поищите.

Обычно в описаниях метода эти доп. переменные обозначают $\lambda_1,\lambda_2$.
Думаю, из линейности целевой функции следует возможность работать только на границах области "превратить неравенства в равенства". Ну и задачка требует аккуратности рассуждений, как мне кажется напоследок.

-- Пн июн 08, 2009 17:14:43 --

Ray1783 в сообщении #220708 писал(а):
А как быть с неограниченностью рабочей области?
Извините, я её не заметил. Подумал наоборот. Но на первый взгляд, это ничего не меняет.
Ну и вообще, по теме я как бы ничего не советовал. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:20 


08/06/09
14
$\lambda_1,\lambda_2$ - это коэффициенты при уравнениях-ограничениях (уравнениях связи). $x_3,x_4$ добавляются, чтобы из неравенств получить равенства. Но, в этом случае, частные производные по этим дополнительным переменным приводят к уравнениям $\lambda_1=0,\lambda_2=0$. Что-то тут не так... Если ввести вместо $x_3,x_4$ квадраты:$x_3^2,x_4^2$, получается система из 6 уравнений, но, опять-таки, надо что-то делать с условиями $\lambda_1*x_3=0,\lambda_2*x_4=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:27 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Или $x_{3,4}$, как Yu_K советовал, или $\lambda_{1,2}$, как обычно их называют в учебниках. Но не обе пары вместе!
Удаляюсь, ибо термин "нелинейное программирование" мне не знаком!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:36 


08/06/09
14
а как быть с условием в учебниках, что метод множителей Лагранжа применяют в тех случаях, когда система ограничений предстваляет собой систему равенств?
http://floyd-sweet.on.ufanet.ru/1.htm#_Toc186683239
в рассмотренном примере добавлены и $\lambda$, и $x_3$ (их там u назвали), но откуда взялись в том примере некоторые из условий, понять не могу. Если второе уравнение - частная производная по $x_2$, то как появилось первое?

-- Пн июн 08, 2009 17:38:28 --

извините, AKM! Я тоже пришла за советом поэтому - я знаю функцию Лагранжа из матанализа, там такие неопределенности не появлялись((

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7072
Интересно попробовать решить задачу без введения дополнительных переменных. Дело осложняет то, что допустимая область не выпукла и воспользоваться теоремой Куна-Таккера не удастся. Локальные эстремумы скорее всего находятся в точках пересечения гиперболы и окружности. Найдите в этих точках конус допустимых направлений и посмотрите, принадлежит ли ему градиент (антиградиент). То что область не ограничена, ведёт к тому, что глобальных экстремумов нет, а только локальные. А сколько их - два или четыре - попробуйте разобраться сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 16:59 


08/06/09
14
без введения дополнительных переменных получаются точки пересечения окружности и гиперболы, только для проверки на экстремум нужны вторые производные, а для этого нужно еще и $\lambda$ искать. Там уж очень несимпатичные числа, почему у меня и возникли сомнения в правильности решения. А с конусами допустимых направлений я сто лет не пересекалась, и литературы под рукой нет((

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по нелинейному программированию
Сообщение08.06.2009, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7072
Решайте без конусов. Рассмотрите 4 подозрительные точки (пересечение гиперболы и окружности). Примените теорему Куна-Таккера (хотя её тут вроде из-за невыпуклости применять нельзя). Знаки множителей Лагранжа дадут ответ, будет ли в точке локальный экстремум. Вторую производную находить не надо. А вот, если вводить дополнительные переменные, то, наверное, надо. А, вообще, если этого будет достаточно, решайте графически.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group