Что такое число?

[rar]

Mixo123 в сообщении #220610 писал(а):

ewert, а $x^2=2$? Ответом же будет $\pm\sqrt{2}$.
Но тогда получается, что вроде как и для уравнений $\mathbb{R}$ тоже нужны.
Или Вы про историческое появление?

Для уравнений в области действительных чисел не имеющих решений. Вот таких например: $x^2+1=0$. В вашем примере есть решение.

А вот что за множество A у вас там затесалось, это что?

[Mixo123]

Xaositect писал(а):

поля алгебраических чисел.

Однако это углубление в ещё большие сложности.

Википедия писал(а):

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к необходимости расширения понятия рациональных чисел до вещественных.

Пусть википедия немножко прояснит ситуацию, откуда они взялись. И действительно, уравнения тут не причём...

[ewert]

rar в сообщении #220614 писал(а):

А вот что за множество A у вас там затесалось, это что?

Xaositect в сообщении #220612 писал(а):

, а $\mathbb{A}$ - поля алгебраических чисел.

Множество корней всех многочленов с целыми (или, что эквивалентно, рациональными) коэффициентами.

-- Пн июн 08, 2009 11:38:30 --

Mixo123 в сообщении #220616 писал(а):

Википедия писал(а):

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к необходимости расширения понятия рациональных чисел до вещественных.

Википедия врёт.
(Правдо, только в этой фразе; текст по дальнейшей ссылке -- уже осмысленный.)

[Xaositect]

ewert в сообщении #220617 писал(а):

Множество корней всех многочленов с целыми (или, что эквивалентно, рациональными) коэффициентами.

ewert, кстати, $\mathbb{A}\not\subseteq\mathbb{R}$.
Это же обозначение поля всех алгебраических чисел, а не только действительных

[ewert]

ну, я имел в виду только вещественные алгебраические. Это ведь тоже поле.

[докер]

Признательна, что ответили. Не совсем я примитивна(высшее техническое имею), угол восприятия у меня другой. Какие числа бывают, это понятно, вот форма????? Форма должна быть одна для всех. Я вот напишу что думаю, уж сильно не травите. Мне представляется числовой объм решеткой, а плоскость сеткой, а число квадратик(или кубик, не понятно число это что-то объемное или плоское). Тогда:
Натуральные числа квадратики
Целые числа ................... и отраженные квадратики
Рациональные числа ............................................................ от которых откусываются только квадратики
Иррациональные числа ............................................................ от которых откусываются только треугольники
Алгебраические числа ............................................................ от которых откусываются только кружечки
Трансцендентные числа кружечки
Комплексные числа здесь начинается движение квадратиков, до здесь я не дошла
Грубо говоря число может членится прямыми, косыми и дугами, ну и числовой объем соответственно + уже и комбинации.

[luitzen]

Нет, а что такое число «в общем виде»?

Почему кватеринионы какие-нибудь называют числами, а вот матрицы — не называют ?

[Алексей К.]

Что-то начинаю понимать:

Бодигрим в сообщении #220529 писал(а):

Экземплярами натурального числа могут служить наборы однородных объектов...: яблок, груш, слив.

докер в сообщении #220725 писал(а):

Рациональные числа ............................................................ от которых откусываются только квадратики

Я всё думал --- почему Бодигрим телевизоры не упомянул?

[BVR]

Кватернионы можно получить расширением того, что уже названо числами - поля C. А матрицы - нет.
А вообще число - это набор цифр. А историю возникновения кратко, но неплохо описал Xaositect
на предыдущей страницы.
докер
Представлять можно что угодно и как угодно. У меня в детстве был друг и он спросил однажды: " ты как представляешь слово сковорода? Вот я вижу что-то зелёное такое, извивающееся..." Вот так и вы с кружочками и квадратиками

[Mixo123]

luitzen, да у Вас философская натура.
Потому что матрица - это таблица чисел, причём таблица сколь угодно малая или большая.
Число - это нечто, используемое для количественного описания объекта.
Как вы таблицей будете измерять количество чего-либо? Да, матрицы используют для описания некоторых свойств и явлений, но при этом именно для их *описания*, но не для количественного измерения.

Насчёт кватернионов... Приведу очень грубый пример немного из другой области, но всё же.
Вы можете численно описать положение точки в пространстве, так? Верно, но для этого потребуется некоторая точка $A(x,y,z)$. То есть эта точка будет располагаться, очень и очень образно говоря, в точке плоскости с координатами $X$ и $Y$, которая будет также приподнята на некоторую высоту $Z$. Можно сказать, что мы как-то количественно описали положение точки $A$ в пространстве.
А различные кватернионы (не знаю, правда, что это, да и знать мне пока рановато) и иже с ними - это точно такое же описание какой-то количественной характеристики, только присущей объекту в уже более "сложных" условиях и с большим числом компонент, однозначно описывающих его кол. характеристики.
Выдержка из Википедии:

Википедия писал(а):

Кватернионы очень удобны для описания изометрий трёхмерного и четырёхмерного Евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например при создании трёхмерной графики.

Как видите, кватернионы тоже вполне себе количественно что-то описывают.

-- Пн июн 08, 2009 18:24:16 --

BVR писал(а):

Кватернионы можно получить расширением того, что уже названо числами - поля C. А матрицы - нет.

Вот, спасибо, вроде бы теперь почвы для философии осталось меньше.

[Xaositect]

Mixo123 в сообщении #220738 писал(а):

Как видите, кватернионы тоже вполне себе количественно что-то описывают.

Матрицы тоже замечательно описывают преобразования пространств или билинейные формы.

Все таки в вопросе о том, называть что-нибудь числом или нет, традиция играет большую роль.

[Mixo123]

Mixo123 писал(а):

Да, матрицы используют для описания некоторых свойств и явлений, но при этом именно для их *описания*, но не для количественного измерения.

Угу, я это вроде тоже. Но потом как-то ушёл от этой мысли.
Но определение BVR прояснило ситуацию.

[докер]

Luitzen, это я спрашиваю что такое число? Привела пример как бы мне было понятно.

BVR, ..........................................................!!!

[luitzen]

BVR, кажется, употребляет слово «расширение» довольно неформально. Ну, я тогда буду борзеть и говорить, что матрицы 9×12 — это тоже «расширение» поля комплексных чисел. Мало ли для чего мне стало не хватать комплексных чисел, а вот матрицы 9×12 вполне подошли .

С Mixo123 я бы тоже не согласился… Всё-таки мне непонятно, что «измеряет» тройка координат $(x, y, z)$.

Если на то пошло, то и у кватернионов есть матричные представления, и эти последние тоже, получается, что-то измеряют…

~~~

Вот есть, говорят, разные процедуры (Кэли-Диксона, Клиффорда-Грассмана), позволяющие построить едва ли не все «числовые» системы, за которыми закрепилось название таковых. Но это только «после» $\mathbb{R}$, а до него добираться приходится из других соображений…

Я-то надеялся, что обозвать что-то числом нам велит (или не велит) не только традиция (или две с половиной традиции), но и какая-нибудь языковая интуиция, что ли. Каковую эксплицировать пока не удалось…

~~~

Может, как-то допилим метафору докер про обкусанные квадраты? Здорово ведь получится, если модель будет предсказывать утверждения типа «между любыми различными иррациональными числами найдётся рациональное». Хотя вряд ли она будет предсказывать мощностные соотношения, это да .

[Mixo123]

luitzen писал(а):

нам велит (или не велит) не только традиция (или две с половиной традиции), но и какая-нибудь языковая интуиция, что ли. Каковую эксплицировать пока не удалось…

На то она и интуиция, что словами её дано выразить лишь избранным, а для большинства это всего лишь какое-то чутьё.
Так что думаю, что она как раз у многих есть, а вот формализма, быть может, и нет.

-- Пн июн 08, 2009 20:06:21 --

Хотя... Возможно, это и правда скорее вопрос традиции и привычек.

Полистав википедию, в ссылках на источники нашёл:
"Роль чисел могут играть не только элементы поля или тела. В этой главе я расскажу о других математических объектах, также выступающих в роли чисел.", после чего сразу же виднеется заголовок "Матрицы в роли чисел".

Тут и правда всё не так однозначно. о_О

-- Пн июн 08, 2009 20:12:00 --

luitzen писал(а):

С Mixo123 я бы тоже не согласился… Всё-таки мне непонятно, что «измеряет» тройка координат $(x, y, z)$.

Я просто хотел лишний раз показать, что введение дополнительных компонент куда-либо - вовсе не "выдумка", а вполне обоснованное решение, которое позволяет однозначно что-то где-то задать. Как аналогию я привёл прямую, положение на которой можно однозначно задать однокомпонентным числом, и плоскость, на которой для этого уже нужны две компоненты, каждая из которых, тем не менее, является "обычным" числом.
Более я не хотел ничего сказать, ибо судить о том, чего не знаешь - не очень хорошо.