Задачи на сходимость рядов

[rar]

Установить сходимость/расходимость ряда:

$$1+\frac{2!}{2^2}+\frac{3!}{3^3}+...+\frac{n!}{n^n}+...$$

Воспользуемся признаком Даламбера.

$$D=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}:\frac{n!}{n^n}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{n!(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}=\frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}$$

$$D=\frac{1}{e}<1$$

Отсюда следует, что ряд сходится.

Правильно?
И скажите, вычисленный D в этом примере это что - сумма ряда?

[Gordmit]

1) Правильно.
2) $D$ - не сумма ряда. Это просто число, по которому можно определить, будет ли ряд сходиться или нет (если оно отлично от 1). В сущности, это число (обзовём его $q$) показывает, грубо говоря, что общий член ряда ведет себя на бесконечности примерно как геометрическая прогрессия $q^n$. Я не уточняю, что именно это означает, см. доказательство признака Даламбера.

P.S. Зачем Вы создаете отдельные темы, если они в принципе об одном и том же?

Темы объединены. /AKM

[rar]

Исследовать сходимость ряда:

$$1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{n^4}+...$$

Так как функция от n - непрерывная, положительная и монотонно убывающая, то можно воспользоваться интегральным признаком Коши.

$$I=\int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{x^4}=\lim_{N\to +\infty}\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{N}=-\frac{1}{3}\lim_{N\to +\infty}\left(\frac{1}{N^3}-1\right)=-\frac{1}{3}(0-1)=\frac{1}{3}$$

Несобственный интеграл I сходится, отсюда следует сходимость данного ряда.

Но, в ответе написано, что ряда сходится абсолютно. Откуда эта абсолютность берется?

[meduza]

rar в сообщении #220553 писал(а):

Откуда эта абсолютность берется?

Оттуда, что ряд из модулей тоже сходится

[rar]

Хм. Это же не знакочередующийся ряд.
Если бы не было бы ответа, то я бы написал, что ряд сходится. А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?
И чем отличается просто сходимость от абсолютной сходимости и условной. И чем отличаются абсолютная сходимость от условной?

[meduza]

rar в сообщении #220555 писал(а):

Это же не знакочередующийся ряд.

Понятие абсолюной сходимости распространяется на все числовые ряды, а не только на знакочередующиеся.

rar в сообщении #220555 писал(а):

А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?И чем отличается просто сходимость от абсолютной сходимости и условной. И чем отличаются абсолютная сходимость от условной?

Абсолютная сходимость -- это когда сходится ряд из модулей, условная -- когда ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится. (Наоборот быть не может: если уж ряд из модулей сходится, то сам ряд всегда будет сходящимся). Это все должно быть написано в ваших лекциях.

[rar]

Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно. Так?
То есть, сходимость не знакочередующегося ряд есть абсолютная сходимость.

[meduza]

rar в сообщении #220557 писал(а):

Получается, что любой не знакочередующийся сходящийся ряд сходится абсолютно.

да

rar в сообщении #220555 писал(а):

А зачем нужна тут эта абсолютна сходимость?

В твоем примере - незачем. Достоточно простого сходится/несходится.

[rar]

Зачем тогда в ответе написали: сходится абсолютно?

[rar]

Установить сходимость/расходимость ряда:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^3+1}+\frac{1}{3^3+1}+...+\frac{1}{n^3+1}+...$$

Воспользуемся первым признаком сравнения рядов. Для сравнения возьмем ряд $\frac{1}{n^3}$$$ - он сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Так как

$$\frac{1}{n^3+1}<\frac{1}{n^3}$$

Отсюда следует сходимость исходного ряда.

Правильно я рассуждал при решении?

[nn910]

rar в сообщении #220590 писал(а):

Для сравнения возьмем ряд $\frac{1}{n^3}$$$ - он сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Правильно я рассуждал при решении?

Он НЕ геометрическая прогрессия. но сходится - например по интегральному признаку

[rar]

Извиняюсь. Ряд обратных кубов. Спасибо.

[ewert]

rar в сообщении #220584 писал(а):

Зачем тогда в ответе написали: сходится абсолютно?

А разве это не правда? Разве ряд из модулей расходится?

[rar]

Да уж.

[Geremy]

Исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{{\ln^{100}n} \sin \frac{n\pi }{4}}{n}}$$

Выделил по признаку Абеля $a_{n}=\frac{\sin \frac{n\pi}{4}}{n}$ и $b_{n}=\ln^{100}n$ . Дальше начал исследовать ряд $a_{n}$ и возникли небольшие проблемы . По какому признаку рационально исследовать ряд $a_{n}$ ?