Найти все натуральные числа

[daogiauvang]

Найти все натуральные числа $a,b$ удовлетворяют следующими условиями:
$ a^2+b=p^k$ и $ b^2+a=np^k$ где $ p$-простое число и $n,k$натуральные числа.

[vlad239]

Типовые трюки. Очевидно при $a=b$ получаем $a(a+1)=p^k$ что возможно только при $a=1$.

Ясно, что $b^2+a$ делится на $a^2+b$. Значит и $b^2+a-a^2-b=(b-a)(b+a-1)$ делится на $a^2+b=p^k$. Оно, очевидно, больше обоих сомножителей. Поэтому оба сомножителя кратны $p$. Следовательно, $a$ и $b$ сравнимы с $\frac{1}{2}$ по модулю $p$. А тогда $\frac{3}{4}$ (это $b^2+a$) кратно $p$, откуда $p=3$ и сравнимы они с двойкой.

Если оба множителя делятся на 9, то придем к противоречию. Следовательно, один из них делится на 3, а другой на $3^{k-1}$. C другой стороны, при делении получается меньше трех (иначе число не меньше $a^2+b$). Дальше пошел разбор вариантов.

1) $3(b-a)=a^2+b, a^2+3a=2b, 3(a(a+1))/2=3^k$. Это возможно при $a=1,2$. Получаем пары $(1,2),(2,5)$. Вторая годится.

2) $3(b-a)=2(a^2+b), 2a^2+3a=b, 3a(a+1)=3^k$. Это невозможно.

3) $3(b+a-1)=a^2+b, a^2-3a+3=2b$. Это невозможно по соображениям четности.

4) $3(b+a-1)=2(a^2+b), 2a^2-3a+3=b, 3(a^2-a+1)=3^k$. Поскольку выражение в скобках не кратно 9, оно может быть равно только 3. Это возможно при $a=2, b=5$. Эту пару мы уже видели.

Ответ. $(1,1),(2,5)$

Влад.

[daogiauvang]

Цитата:

Если оба множителя делятся на $9$, то придем к противоречию.

Почему так??? объясните,пожалуйста!!!

Цитата:

C другой стороны, при делении получается меньше трех (иначе число не меньше $a^2+b$). Дальше пошел разбор вариантов.

это при делении чего???

[vlad239]

Про девятку - в предыдущем рассуждении не использовалась простота $p$. Только нечетность его.

При делении числа, которое делится на $3^{k-1}$ на это самое $3^{k-1}$.

Влад.