У меня есть некоторые вопросы, связанные с непрерывностью функции. Я буду очень благодарен, если кто-то на них ответит.
Функция непрерывна на отрезке
![$ [a, b] $ $ [a, b] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/3/4e3cd72951a4ee0b6fa4ae9a2669b4ee82.png)
, если она непрерывна в каждой точке этого отрезке.
Вопрос: означает ли это фактически, что область определения функции включает в себя
![$ [a, b] $ $ [a, b] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/3/4e3cd72951a4ee0b6fa4ae9a2669b4ee82.png)
(
![$ D(f) \supset [a,b] $ $ D(f) \supset [a,b] $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/8/7f8db4174ce6c042c882b4e7150f33dc82.png)
)? Ведь если это не так, то у нас не существует пределов

и

, а значит

имеет разрывы в этих точках и на отрезке
![$ [a, b] $ $ [a, b] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/3/4e3cd72951a4ee0b6fa4ae9a2669b4ee82.png)
, она не будет непрерывной.
Далее идёт то, что я не понимаю более всего. Есть функция

. Утверждается, что она
не является равномерно непрерывной на

. По теореме Кантора из непрерывности функции на отрезке
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
следует, что она равномерно непрерывна на
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
.
Вопрос: тут утверждается, что

имеет точки разрыва на

?!
То есть у меня полное отсутствие понимания «
![$ f \in C([a,b]) $ $ f \in C([a,b]) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/7/5571e4258a79122fa936209a3a11c77c82.png)
=>

-- равномерно непрерывна на
![$ [a,b] $ $ [a,b] $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/2/c926dcefdc7bf8ff54c96a5e8b21516d82.png)
», то есть необходимое условие непрерывности есть равномерная непрерывность. Какая-то бессмыслица.
