Равномерная непр-ть, теорема Кантора

[Pirate]

У меня есть некоторые вопросы, связанные с непрерывностью функции. Я буду очень благодарен, если кто-то на них ответит.

Функция непрерывна на отрезке $ [a, b] $, если она непрерывна в каждой точке этого отрезке. Вопрос: означает ли это фактически, что область определения функции включает в себя $ [a, b] $ ($ D(f) \supset [a,b] $)? Ведь если это не так, то у нас не существует пределов $ \lim \limits_{x \to a - 0} f(x) $ и $ \lim \limits_{x \to b + 0} f(x) $, а значит $ f(x) $ имеет разрывы в этих точках и на отрезке $ [a, b] $, она не будет непрерывной.

Далее идёт то, что я не понимаю более всего. Есть функция $ f(x) = x^2 $. Утверждается, что она не является равномерно непрерывной на $[1, +\infty)$. По теореме Кантора из непрерывности функции на отрезке $[a, b]$ следует, что она равномерно непрерывна на $[a, b]$. Вопрос: тут утверждается, что $ f(x) = x^2 $ имеет точки разрыва на $[1, +\infty)$?!

То есть у меня полное отсутствие понимания «$ f \in C([a,b]) $ => $ f(x) $ -- равномерно непрерывна на $ [a,b] $», то есть необходимое условие непрерывности есть равномерная непрерывность. Какая-то бессмыслица.

[ewert]

Pirate в сообщении #220302 писал(а):

Далее идёт то, что я не понимаю более всего. Есть функция $ f(x) = x^2 $. Утверждается, что она не является равномерно непрерывной на $[1, +\infty)$. По теореме Кантора из непрерывности функции на отрезке $[a, b]$ следует, что она равномерно непрерывна на $[a, b]$.

Первого вопроса я просто не понимаю. Со вторым всё ясно.
Теорема о равномерной непрерывности требует двух обязательных вещей. Во-первых, замкнутости области определения. Во-вторых, её ограниченности. Ну а говоря по существу -- её компактности, что в одномерном (вообще конечномерном) случае к этому и сводится.

Так вот, полубесконечный промежуток не является ограниченным. Соотв, и непрерывные функции на нём не обязаны быть равномерно непрерывными. Вот и тот же икс квадрат, к примеру. Ну и не является.

[Pirate]

ewert в сообщении #220305 писал(а):

Первого вопроса я просто не понимаю.

Пусть область определения функции есть $ [a,b] $. Верно ли, что функция не является непрерывной на $ [a,b] $?

ewert в сообщении #220305 писал(а):

Теорема о равномерной непрерывности требует двух обязательных вещей. Во-первых, замкнутости области определения. Во-вторых, её ограниченности.
<...>
Так вот, полубесконечный промежуток не является ограниченным.

С этим ясно, спасибо!

[ewert]

Pirate в сообщении #220311 писал(а):

Пусть область определения функции есть $ [a,b] $. Верно ли, что функция не является непрерывной на $ [a,b] $?

Поскольку я по-прежнему вопроса не понимаю -- читаю буквально. Нет, неверно. Она там может быть какой угодно. Ведь про функцию (кроме области определения) ровным счётом ничего не сказано.

[Cave]

Функция непрерывна на отрезке $[a, b]$, если она непрерывна в каждой точке этого отрезке по этому отрезку. Это значит, что в пределах при $x\to c, c\in[a;b]$ допустимыми значениями $x$ являются только точки $[a;b]$. Для отрезка $[a;b]$ это означает непрерывность во всех точках интервала $(a;b)$ и односторонняя непрерывность (правая и левая для $a$ и $b$ соответственно) в концах отрезка.

[Pirate]

Тогда так:

1) Функция непрерывна в точке $ a $, если $ \lim \limits_{x \to a - 0} f(x) $ = $ \lim \limits_{x \to a + 0} f(x) $ = $ f(a) $. Верно?
2) Функция является непрерывной на $ [a, b] $, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Верно?
3) Если область определения функции есть $ [a, b] $, то у неё не существует $ \lim \limits_{x \to a - 0} f(x) $ и $ \lim \limits_{x \to b + 0} f(x) $. Верно?

Отсюда следует, что в точках $ a $ и $ b $ функция не является непрерывной, то есть это точки разрыва. Значит функция не является непрерывной на $ [a, b] $. Верно?

Cave, вот именно, что существуют только односторонние пределы для $ a $ и $ b $. А для непрерывности в этих точках она обязана иметь двусторонние пределы во всех точках отрезка, разве нет?

[CowboyHugges]

Pirate в сообщении #220321 писал(а):

1) Функция непрерывна в точке $ a $, если $ \lim_{x \to a - 0} f(x) $ = $ \lim \limits_{x \to a + 0} f(x) $ = $ f(a) $. Верно?

Нет. Просто $\lim \limits_{x \to a} f(x)=f(a)$. Если точка $a$ является точкой сгущения (и правой, и левой) для области определения, тогда Ваше определение подходит. Но в этом случае это очевидно не так.

[Cave]

Pirate
Утверждение 2) неверно, и я в своём первом сообщении его подправил.
На всякий случай: функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$ по множеству $E$, если предел функции в точке $x_0$ по множеству $E$ равен $f(x_0)$.
Предел функции $f(x)$ в точке $x_0$ по множеству $E$ определяется стандартным образом (по Коши или по Гейне) с той особенностью, что значения переменной $x$ из окрестности (значения $x_n$ последовательности) все принадлежат множеству $E$.
Если это понятно, читайте мой первый ответ.