Система линейных дифференциальных уравнений!

[oleg-spbu]

Можете помочь с идеей решения системы дифференциальных уравнений именно матричным способом?
x'=x+y+z
y'=3x+y+z
z'=3x-2y+4z

Я нашел собственные числа, они получились равными
$\lambda_1=6$
$\lambda_2=1$
$\lambda_3=1$

По аналогии с Филлиповым только что решал, когда искал собственный вектор, он получился равным нулю, но нас это ведь не устраивает, правильно?

Исходная система

$det\left( \begin{array}{ccc} \lambda-1 & -1 & -1 \\ -3 & \lambda-1 & -1 \\ -3 & 2 & \lambda-4 \\ \end{array} \right) = 0; получаем $\lambda_1=6$
$\lambda_2=1$
$\lambda_3=1$

Для $\lambda_1=6$ ищем собственный вектор

$\left( \begin{array}{ccc} 5 & -1 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array} \right)* \left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma\\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\\ \end{array} \right)
Получилось, что
$ \left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma\\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0\\ \end{array} \right)
В чем подвох и что дальше делать?

[Gordmit]

Вы неверно нашли собственные значения.
Когда найдете правильные, при подстановке каждого из них в матрицу она окажется вырожденной, и соответствующая однородная система будет иметь ненулевое решение - это и будет собственный вектор.

[oleg-spbu]

Спасибо! Только что-то ошибку у себя не найти...
Раскрыл определитель другим способом, получилось только одно собственное число $\lambda_1=3$

[Бодигрим]

У меня получился характеристический многочлен $12 + 5\lambda - 6\lambda^2 + \lambda^3$.

[nn910]

oleg-spbu в сообщении #220002 писал(а):

Спасибо! Только что-то ошибку у себя не найти...
Раскрыл определитель другим способом, получилось только одно собственное число $\lambda_1=3$

$\lambda_2=4$ тоже годится

[oleg-spbu]

Бодигрим в сообщении #220034 писал(а):

У меня получился характеристический многочлен $12 + 5\lambda - 6\lambda^2 + \lambda^3$.

Решение вашего кубического уравнения

$\lambda_1 = -1$
$\lambda_2 = 3$
$\lambda_3 = 4$

Помогите, пожалуйста, может кто-нибудь решит, если есть время?

[Бодигрим]

oleg-spbu в сообщении #220138 писал(а):

может кто-нибудь решит, если есть время?

Что решать-то? Корни характеристического уравнения вы нашли правильно. Они все различны - это самый простой случай для систем ДУ. Что теперь вызывает затруднения?

[oleg-spbu]

Разобрался, однако непонятно, что делать, когда собственный вектор получается нулевым
Например, система
x'=-x+2y+3z
y'=2x-3y-2z
z'=-x+3y+3z

Я нашел нашел корни характеристического уравнения 2 способами (имеется ввиду, что определитель раскрывал по-разному), независимо друг от друга, получил один и тот же ответ.

$\lambda_1 = -1$
$\lambda_2 = 2$
$\lambda_3 = -2$

Однако, получил нулевой собственный вектор, соответствующий
$\lambda_3 = -2$ оба раза.......

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #220259 писал(а):

, однако непонятно, что делать, когда собственный вектор получается нулевым

Застрелиться. Если собственный вектор получается нулевым -- значит, собственное число найдено неверно.

Однако в последнем примере это не так: минус двойке отвечает вектор (1,-8,5).

[oleg-spbu]

застрелиться не успел, потому что перерешал и все получилось...=) А почему собственный вектор не может получиться нулевым? (я догадываюсь, но сомневаюсь....)

[ewert]

oleg-spbu в сообщении #220415 писал(а):

А почему собственный вектор не может получиться нулевым?

По определению собственного вектора.