2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение05.06.2009, 23:29 
Можете помочь с идеей решения системы дифференциальных уравнений именно матричным способом?
x'=x+y+z
y'=3x+y+z
z'=3x-2y+4z

Я нашел собственные числа, они получились равными
$\lambda_1=6$
$\lambda_2=1$
$\lambda_3=1$

По аналогии с Филлиповым только что решал, когда искал собственный вектор, он получился равным нулю, но нас это ведь не устраивает, правильно?

Исходная система

$det\left( \begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -1 & -1 \\
-3 & \lambda-1 & -1 \\
-3 & 2 & \lambda-4  \\
\end{array} \right) = 0;

    получаем

$\lambda_1=6$
$\lambda_2=1$
$\lambda_3=1$

Для $\lambda_1=6$ ищем собственный вектор

$\left( \begin{array}{ccc}
5 & -1 & -1 \\
-3 & 5 & -1 \\
-3 & 2 & 2  \\
\end{array} \right)*
\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \\
\gamma\\
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\\
\end{array} \right)
Получилось, что
$
\left( \begin{array}{c}
\alpha \\
\beta \\
\gamma\\
\end{array} \right)=
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\\
\end{array} \right)
В чем подвох и что дальше делать?

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение06.06.2009, 02:13 
Вы неверно нашли собственные значения.
Когда найдете правильные, при подстановке каждого из них в матрицу она окажется вырожденной, и соответствующая однородная система будет иметь ненулевое решение - это и будет собственный вектор.

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение06.06.2009, 10:15 
Спасибо! Только что-то ошибку у себя не найти...
Раскрыл определитель другим способом, получилось только одно собственное число $\lambda_1=3$

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение06.06.2009, 12:23 
Аватара пользователя
У меня получился характеристический многочлен $12 + 5\lambda - 6\lambda^2 + \lambda^3$.

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение06.06.2009, 13:06 
oleg-spbu в сообщении #220002 писал(а):
Спасибо! Только что-то ошибку у себя не найти...
Раскрыл определитель другим способом, получилось только одно собственное число $\lambda_1=3$

$\lambda_2=4$ тоже годится

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение06.06.2009, 19:51 
Бодигрим в сообщении #220034 писал(а):
У меня получился характеристический многочлен $12 + 5\lambda - 6\lambda^2 + \lambda^3$.

Решение вашего кубического уравнения

$\lambda_1 = -1$
$\lambda_2 = 3$
$\lambda_3 = 4$

Помогите, пожалуйста, может кто-нибудь решит, если есть время?

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение07.06.2009, 01:17 
Аватара пользователя
oleg-spbu в сообщении #220138 писал(а):
может кто-нибудь решит, если есть время?

Что решать-то? Корни характеристического уравнения вы нашли правильно. Они все различны - это самый простой случай для систем ДУ. Что теперь вызывает затруднения?

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение07.06.2009, 10:16 
Разобрался, однако непонятно, что делать, когда собственный вектор получается нулевым
Например, система
x'=-x+2y+3z
y'=2x-3y-2z
z'=-x+3y+3z

Я нашел нашел корни характеристического уравнения 2 способами (имеется ввиду, что определитель раскрывал по-разному), независимо друг от друга, получил один и тот же ответ.

$\lambda_1 = -1$
$\lambda_2 = 2$
$\lambda_3 = -2$

Однако, получил нулевой собственный вектор, соответствующий
$\lambda_3 = -2$ оба раза.......

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение07.06.2009, 10:38 
oleg-spbu в сообщении #220259 писал(а):
, однако непонятно, что делать, когда собственный вектор получается нулевым

Застрелиться. Если собственный вектор получается нулевым -- значит, собственное число найдено неверно.

Однако в последнем примере это не так: минус двойке отвечает вектор (1,-8,5).

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение07.06.2009, 18:23 
застрелиться не успел, потому что перерешал и все получилось...=) А почему собственный вектор не может получиться нулевым? (я догадываюсь, но сомневаюсь....)

 
 
 
 Re: Система линейных дифференциальных уравнений!
Сообщение07.06.2009, 18:29 
oleg-spbu в сообщении #220415 писал(а):
А почему собственный вектор не может получиться нулевым?

По определению собственного вектора.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group