Аксиома непрерывности и лемма о вложенных отрезках

[ellipse]

Как из аксиомы непрерывности доказать лемму о вложенных отрезках?

$a_n \leqslant b_m$ для любого $m,n$
по аксиоме непрерывности для множеств $\{a_n\}$,$\{b_m\}$ существует $c$ т.ч. $a_n\leqslant c \leqslant b_m$

$\{a_n\}$ - возрастает и ограничена сверху => сущ. sup => сущ. предел $c_1$
аналогично
$\{b_n\}$ - убывает и ограничена снизу => сущ. inf => сущ.предел $c_2$

если $\lim (a_n - b_n) = 0 = c_{1}-c_{2}$ => единственность общей точки.

Где используется замкнутость отрезков?

[nn910]

Если бы это были интервалы и их левые концы совпадали, то эта точка и была бы пределом. Но она не принадлежит интервалам. Ни одной общей точки

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #219904 писал(а):

Где используется замкнутость отрезков?

А Вы рассмотрите последовательность вложенных отрезков (длина стремится к нулю). Она, естественно, сходится к некоторой точке, а теперь выкиньте эту самую точку и рассмотрите последовательность вложенных «проколотых» множеств. Вопрос про замкнутость сразу станет ясен.

[ellipse]

Цитата:

А Вы рассмотрите...

Контрпримеры я и сам могу привести. Меня интересует где замкнутость используется в док-ве.

Множества концов вложенных открытых интервалов $\{a_n\}, \{b_n\}$ не удовлетворяют аксиоме непрерывности?

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #219904 писал(а):

если $\lim (a_n - b_n) = 0 = c_{1}-c_{2}$ => единственность общей точки.

Что означает это нуль? И разность точек?

ellipse в сообщении #219910 писал(а):

Цитата:

А Вы рассмотрите...

Контрпримеры я и сам могу привести. Меня интересует где замкнутость используется в док-ве.

Множества концов вложенных открытых интервалов $\{a_n\}, \{b_n\}$ не удовлетворяют аксиоме непрерывности?

Вы выберите что-то одно. Или у Вас совокупность открытых интервалов или совокупность замкнутых интервалов (отрезков).

-- Пт июн 05, 2009 22:56:40 --

ellipse в сообщении #219910 писал(а):

Множества концов вложенных открытых интервалов $\{a_n\}, \{b_n\}$ не удовлетворяют аксиоме непрерывности?

«Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число.» Это цитата из Википедии. Но здесь речь не идет о вложенных отрезках. Если это понятно, то можно поговорить о вложенных отрезках.

[ellipse]

Виктор Викторов писал(а):

Что означает это нуль?

То что длины интервалов стремятся к 0.

Цитата:

И разность точек?

Разность чисел и означают.

-- Пт июн 05, 2009 23:02:06 --

Виктор Викторов в сообщении #219918 писал(а):

«Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число.» Это цитата из Википедии. Но здесь речь не идет о вложенных отрезках. Если это понятно, то можно поговорить о вложенных отрезках.

Да, ничего там не сказано об отрезках. X и Y — два любых непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y.

По-моему, очевидно, что условиям аксиомы мои множества концов удовлетворяют, значит есть точка $c$ разделяющая эти множества. Здесь замкнутость не нужна. Тогда где она нужна?

[vlad239]

Почему построенная Вами точка лежит во всех отрезках?

Рассмотрите пример $(0,1),(0,1/2),(0,1/4),\ldots$

Влад.

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #219904 писал(а):

если $\lim (a_n - b_n) = 0 = c_{1}-c_{2}$ => единственность общей точки.

1. Куда стремится n? Отсутствует.
2. Что Вы утверждаете в этой строчке? Вами выписанная последовательность не обязана стремится к нулю. Первая последовательность может стремиться к $c_{1}$, а вторая $c_{2}$ и согласно Вашим условиям между этими точками может быть непустой интервал. Где Вы потребовали, чтобы длины именно замкнутых интервалов стремились к нулю?

[ellipse]

А все я понял В равенстве не исключено равенство, а в случае с открытыми интервалами оно исключено.

-- Пт июн 05, 2009 23:24:35 --

Виктор Викторов в сообщении #219922 писал(а):

2. Что Вы утверждаете в этой строчке? Вами выписанная последовательность не обязана стремится к нулю. Первая последовательность может стремиться к $c_{1}$, а вторая $c_{2}$ и согласно Вашим условиям между этими точками может быть непустой интервал. Где Вы потребовали, чтобы длины именно замкнутых интервалов стремились к нулю?

Не обязана, но там же написано если.

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #219919 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #219918 писал(а):

«Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число.» Это цитата из Википедии. Но здесь речь не идет о вложенных отрезках. Если это понятно, то можно поговорить о вложенных отрезках.

ellipse в сообщении #219919 писал(а):

Да, ничего там не сказано об отрезках. X и Y — два любых непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y.

Совершенно верно!

ellipse в сообщении #219919 писал(а):

По-моему, очевидно, что условиям аксиомы мои множества концов удовлетворяют, значит есть точка $c$ разделяющая эти множества. Здесь замкнутость не нужна. Тогда где она нужна?

Условиям аксиомы Ваши множества удовлетворяют. А вот с замкнутостью дело плохо. Пожалуйста, сформулируйте лемму о вложенных отрезках. И тогда, мы пойдём дальше.

-- Пт июн 05, 2009 23:45:13 --

ellipse в сообщении #219924 писал(а):

А все я понял В равенстве не исключено равенство, а в случае с открытыми интервалами оно исключено.

Что Вы поняли? Совокупность вложенных открытых интервалов может быть пуста. Влад привел хороший пример. Вот ещё один. Рассмотрим все открытые интервалы вида (0, b) где b>0. Пересечение совокупности всех таких интервалов пусто. Если предположить противное, что некое c>0 содержится в пересечении, то сразу ясно, что c не входит в те открытые интервалы, где 0<b<c и даже в открытый интервал (0, c). А вот совокупность вложенных отрезков (замкнутых интервалов) всегда не пуста.

[ellipse]

Виктор Викторов в сообщении #219925 писал(а):

Что Вы поняли? Совокупность вложенных открытых интервалов может быть пуста. Влад привел хороший пример. Вот ещё один. Рассмотрим все открытые интервалы вида (0, b) где b>0. Пересечение совокупности всех таких интервалов пусто. Если предположить противное, что некое c>0 содержится в пересечении, то сразу ясно, что c не входит в те открытые интервалы, где 0<b<c и даже в открытый интервал (0, c). А вот совокупность вложенных отрезков (замкнутых интервалов) всегда не пуста.

Да не нужны мне примеры. Примеры я и сам знаю и что пересечение интервалов может быть пусто я тоже знаю

Мне нужно было не на словах и примерах, а строго и формально обосновать необходимость замкнутости интервалов при доказательстве леммы из аксиом вещественных чисел, в частности из аксиомы непрерывности. Впрочем я уже сам понял как формально обосновать.

Всем спасибо за внимание

[Виктор Викторов]

ellipse в сообщении #219969 писал(а):

Мне нужно было не на словах и примерах, а строго и формально обосновать необходимость замкнутости интервалов при доказательстве леммы из аксиом вещественных чисел, в частности из аксиомы непрерывности. Впрочем я уже сам понял как формально обосновать.

Вы бы поделились Вашим пониманием с нами. Я же, со своей стороны, даже не сумел получить от Вас формулировки леммы о вложенных отрезках. Где уж там «строго и формально обосновать необходимость замкнутости интервалов при доказательстве». Вы побежали дальше к «Как доказать что путь пересекает границу множества?» Но там Вас ждут не менее забавные вопросы типа: Что такое граница множества? И т. д.

[ellipse]

Виктор Викторов в сообщении #219973 писал(а):

Вы бы поделились Вашим пониманием с нами. Я же, со своей стороны, даже не сумел получить от Вас формулировки леммы о вложенных отрезках.

Пусть дана последовательность вложенных отрезков $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$, то есть $X_n = [a_n,b_n],\; X_{n+1} \subset X_n,\; n\in \mathbb{N}$.

Тогда:

1) найдется хотя бы одна точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

2) если длина отрезков стремится к нулю, то такая точка единственна.

-- Сб июн 06, 2009 09:00:04 --

Цитата:

Что такое граница множества?

Точка $x_0\in X$ называется грани́чной то́чкой мно́жества $A$, если для любой её окрестности $U\in \mathcal{T}, U\ni x_0$ справедливо:

$U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset$

[Виктор Викторов]

Наконец, мы доехали до формулировки леммы. Но Вы обещали ещё и «строго и формально обосновать необходимость замкнутости интервалов при доказательстве леммы из аксиом вещественных чисел, в частности из аксиомы непрерывности».

[ellipse]

Виктор Викторов в сообщении #219979 писал(а):

Но Вы обещали ещё и «строго и формально обосновать необходимость замкнутости интервалов при доказательстве леммы из аксиом вещественных чисел, в частности из аксиомы непрерывности».

Я уже обосновал необходимость замкнутости.

Давайте как лучше с границей помогите.