«Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число.» Это цитата из Википедии. Но здесь речь не идет о вложенных отрезках. Если это понятно, то можно поговорить о вложенных отрезках.
Да, ничего там не сказано об отрезках. X и Y — два любых непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y.
Совершенно верно!
По-моему, очевидно, что условиям аксиомы мои множества концов удовлетворяют, значит есть точка
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
разделяющая эти множества. Здесь замкнутость не нужна. Тогда где она нужна?
![Confused :?](./images/smilies/icon_confused.gif)
Условиям аксиомы Ваши множества удовлетворяют. А вот с замкнутостью дело плохо. Пожалуйста, сформулируйте лемму о вложенных отрезках. И тогда, мы пойдём дальше.
-- Пт июн 05, 2009 23:45:13 --А все я понял
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
В равенстве
![Изображение](http://dxdy.ru/math/c509659af45592ea1184a91a1fbb0d7382.gif)
не исключено равенство, а в случае с открытыми интервалами оно исключено.
Что Вы поняли? Совокупность вложенных открытых интервалов может быть пуста. Влад привел хороший пример. Вот ещё один. Рассмотрим все открытые интервалы вида (
0,
b) где
b>
0. Пересечение совокупности всех таких интервалов пусто. Если предположить противное, что некое
c>
0 содержится в пересечении, то сразу ясно, что
c не входит в те открытые интервалы, где
0<
b<
c и даже в открытый интервал (
0,
c). А вот совокупность вложенных отрезков (замкнутых интервалов) всегда не пуста.