Квадратурная формула для функции с полюсом...

[VladTK]

Возникла необходимость провести численное интегрирование функции вида

$$ \int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} \frac {f(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} dx dy$$

при заданных $ f(x,y), x_1,x_2,y_1,y_2,x_0,y_0$. Предполагается, что $ x_1 \le x_0 \le x_2$ и $ y_1 \le y_0 \le y_2$

Использование обычных квадратурных формул Симпсона, Ромберба и т.п. подобного дает расходимости. Не посоветуете что-нибудь подходящее для такого случая?

[ewert]

А почему бы не перейти к полярным координатам?

[VladTK]

Да, это первое что приходит в голову. Но у меня довольно сложная область интегрирования (я ее здесь не стал приводить полностью). В полярных координатах она становится слишком сложной. Хотелось бы все эти сложности возложить на компьютер

Кроме того, далее мне потребуется рассчитывать интегралы вида

$$ \int \limits_{x_1}^{x_2} \int \limits_{y_1}^{y_2} f(x,y) \exp{\left ( - \frac{a_0}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \right )} dx dy$$

[ewert]

VladTK в сообщении #219780 писал(а):

Но у меня довольно сложная область интегрирования (я ее здесь не стал приводить полностью).

Да ничего там сложного. Вы ведь в любом случае собираетесь интегрировать численно, не так ли?... -- ну так и разбейте Ваш прямоугольник на четыре соотв. сектора. Внутри каждого из секторов квадратурные формулы выписываются вполне очеыидным образом, а границы секторов -- и совсем уж тривиально.

Ежели ж у Вас область более сложная, чем прямоугольник -- так и разбейте её соответственно. В любом варианте: это -- ручная работа, и вряд ли за Вас её кто-то сделает.

[nn910]

Интеграл по окрестности особенности ведет себя как корень из площади окрестности. Вырезать окрестность, чтобы он не превышал заданной Вам точности.По остальной области будут работать численные методы.

[ewert]

Это не так просто. Для достижения разумной точности придётся вырезать шибко уж маленькую окрестность центра. После чего на оставшейся области стандартные методы, да, будут работать, но -- медленно, т.е. потребуется чрезмерное к-во шагов.

Ещё раз повторю. Это (если мы хотим получить разумный результат за разумное время) требует ручной работы, типично -- некоторой замены переменных, и никуды от этого не деться.

[worm2]

Можно, конечно, ещё пойти по пути самурая: попробовать самому вывести квадратурную формулу типа Гаусса для

$$\int\limits_0^1 \frac{f_y(x)}{\sqrt{x^2+y^2}}\, dx$$

(не очень высокого порядка), затем, проинтегрировав её по $y$, получить искомую кубатурную.
Долог и теоретически труден путь сей, но наградой может оказаться хорошая априорная оценка погрешности...

[ewert]

Хороших априорных оценок погрешности не бывают -- все они на практике не работают да и не нужны, достаточно иметь хороший порядок точности.

[nn910]

ewert в сообщении #219838 писал(а):

Это не так просто. Для достижения разумной точности придётся вырезать шибко уж маленькую окрестность центра. После чего на оставшейся области стандартные методы, да, будут работать, но -- медленно, т.е. потребуется чрезмерное к-во шагов.

Ещё раз повторю. Это (если мы хотим получить разумный результат за разумное время) требует ручной работы, типично -- некоторой замены переменных, и никуды от этого не деться.

Так могу улучшить свое предложение. Интеграл по малой круглой r-окрестности точки($x_0, y_0$) заменим не на 0, а на $2*3,1416*r*f(x_0, y_0)$, тогда ошибка, вероятно,не превысит суммы модулей частных производных на площадь окрестности. r можно взять побольше а шагов поменьше. А как пи пишется?

[VladTK]

ewert писал(а):

...ну так и разбейте Ваш прямоугольник на четыре соотв. сектора. Внутри каждого из секторов квадратурные формулы выписываются вполне очеыидным образом, а границы секторов -- и совсем уж тривиально.

$y_1,y_2$ - функции x. Область интегрирования у меня близка к эллипсу.

ewert писал(а):

...В любом варианте: это -- ручная работа, и вряд ли за Вас её кто-то сделает.

Не кто-то, а что-то

nn910 писал(а):

...тогда ошибка, вероятно,не превысит суммы модулей частных производных на площадь окрестности. r можно взять побольше а шагов поменьше...

Это интересно, надо попробовать.

nn910 писал(а):

...А как пи пишется?

Так наверное $\pi$

[ewert]

VladTK в сообщении #220537 писал(а):

Область интегрирования у меня близка к эллипсу.

Тем лучше -- значит, уравнение границы в полярных координатах будет гладким.

[nn910]

[quote="VladTK в [url=http://dxdy.ru/post220537.html#p220537]сообщении #220537[/urlТак наверное $\pi$[/quote]Урра, спасибо!$\pi$$\pi^3$$\sqrt\pi$А кто не согласен,что$\pi^2=g$в Куршавеле?И как Вы проверяли?

[VladTK]

ewert писал(а):

Тем лучше -- значит, уравнение границы в полярных координатах будет гладким.

При переходе к полярным приходится сразу учитывать сдвиг на $x_0,y_0$. Это делает уравнение даже обычного эллипса сложным.

У меня еще была идея интегрирования по частям...

nn910 писал(а):

...И как Вы проверяли?

Что проверял?

[ewert]

VladTK в сообщении #220585 писал(а):

Это делает уравнение даже обычного эллипса сложным.

Сложность сама по себе непринципиальна; помешать может лишь неявность выражения радиуса через угол. Ну тогда просто вырежьте кружок с центром в полюсе и посчитайте интеграл по нему отдельно. Только не слишком маленький кружок -- иначе условия для сходимости квадратурных формул на оставшемся участке будут не очень благоприятными.

[VladTK]

Цитата:

Сложность сама по себе непринципиальна...

Не факт - возникает необходимость в большом количестве лишних телодвижений.

Кроме того, я думал что подобные случаи должны как-то "централизовано" решаться в численных методах. Это я рассчитываю грав.потенциал. А если бы я считал его градиент (а мне это надо!)? Там бы и переход в полярные координаты ничего не дал бы.