Момент инерции сферы

[Vysockij]

Как вывести момент инерции сферы?

[мат-ламер]

Я бы считал через поверхностный интеграл (первого рода).

[Архипов]

Vysockij в сообщении #219359 писал(а):

Как вывести момент инерции сферы?

Задайте этот вопрос писковому серверу. Он даст 100 способов вывода. Выбирайте ответы по своему вкусу.

[Vysockij]

Если бы я что то нашел, то здесь бы не спрашивал!

[Dan B-Yallay]

Vysockij в сообщении #219359 писал(а):

Как вывести момент инерции сферы?

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%B8%D0%B8

Момент относительно чего?

[Vysockij]

относительно оси

Цитата:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%B8%D0%B8

Здесь нету вывода, а просто что должно получится.

[Архипов]

Сразу выразим плотность $p$через массу $m$ и объем $V$ сферы cреднего радиуса $R$ малой толщины $h$:
$p=m/V=m / 4 h \pi\ R^2$ (объем тонкой сферы = пл.сферы на ее толщину).
Интегрируем произведение масс колец (плотности $p$, длины $2\pi\ Rcosa$, толщины $h$ , ширины $Rda$) на квадрат расстояния от оси $R^2cos^2a$
Дифференциал мом. инерции $dI=4ph\pi\ R^4 cos^3a da$
$cos^3=cos(1-sin^2)=cos-sin^2cos$
Интеграл этой функции $sin-sin^3/3=1-1/3=2/3$
интеграл момента инерции $8ph\pi\ R^4/3$
Подставим вместо плотности $p=m/V$ и получим итог:
$I=2mR^2/3$.

[Dan B-Yallay]

Если вам нужен именно вывод... Я бы вывел следующим образом:

Будем считать что функция плотности $f$задана на поверхности $S: \ x^2+y^2+z^2=R^2$ и за ось примем $0z$. Площадь сферы обозначим $|S|=4\pi R^2$
Переходим к цилиндрическим координатам: $x=r \cos \phi, \ y=r \sin \phi, \ z=z, \quad f(x,y,z) \sim f(r,\phi, z)$
Мысленно разбиваем диаметр вдоль оси $0z$ на $N$ равных отрезков и получаем соответственно разбиение сферы $S$ на $N$ сферических поясов (и шапочки на полюсах) одинаковой высоты $\Delta z=\dfrac{2R}{N}, \quad (N=\dfrac {2R}{\Delta z})$. Далее проводим $N$ меридианов и соответственно разбиваем каждый сферический пояс на сферические "квадраты" ( в полюсах- треугольники) каждый с угловой мерой $\Delta \phi = \dfrac{2 \pi}{N}, \quad ( N=\dfrac {2 \pi}{\Delta \phi} )$. Получаем в общей сложности $N^2$ кусочков.


В каждом кусочке /элементе сферы - выбираем точку с координатами $r_i, \phi_j, z_i$, и находим значение плотности $f(r_i, \phi_j, z_i)$ Момент каждого кусочка $\Delta S_{ij}$ относительно оси $0z$ приблизительно равен

$m_{ij}=f(r_i, \phi_j, z_i)\cdot A_{ij}\cdot r_i^2= f(\sqrt{R^2-z_i^2}, \phi_j, z_i)\cdot A_{ij}\cdot (R^2-z_i^2)$

Чтобы найти площадь $A_{ij}$ кривой поверхности, вообще говоря необходимо привлекать частные производные, но в нашем случае (сферы) спасает теорема, утверждающая, что если сферические пояса имеют одинаковую высоту, то их площади равны. (Доказывается средствами матана 2 курса или просто смотри в инете ). Поэтому равны и площади всех элементов нашего разбиения сферы $A_{ij}=\dfrac{area \ S}{N^2}= \dfrac{|S|}{N\cdot N}=\dfrac{| S|}{(\frac {2R}{\Delta z})( \frac{2 \pi}{\Delta \phi})} = | S|\dfrac{ \Delta \phi \Delta z }{2R 2 \pi}$.

Далее все это суммируем по обоим индексам, устремляем $N$ к бесконечности и получаем двойной интеграл по поверхности как советовали в самом начале.

$$\begin{align*} M_z & \approx \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N m_{ij}=\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^Nf(r_i, \phi_j, z_i)\cdot A_{ij}\cdot r_i^2 \\ &= \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N f(\sqrt{R^2-z_i^2}, \phi_j, z_i)\cdot | S|\dfrac{ \Delta \phi \Delta z }{2R 2 \pi}\cdot (R^2-z_i^2) \ldots\\ \\ & \{\Delta z, \Delta \phi \to 0 \}\\ \\ &\longrightarrow \dfrac{|S|}{4R\pi}\int\limits_{-R}^R \int\limits_0^{2\pi} f(\sqrt{R^2-z^2}, \phi, z)(R^2-z^2)d\phi dz \end{align*} $$

Ну а если, как частный случай, масса распределена равномерно, то вытаскивая $f(...)=f_0$ за интегралы и умножив на $|S|$ получаем

$$ \dfrac{|S|f_0}{4R\pi}\int\limits_{-R}^R \int\limits_0^{2\pi}(R^2-z^2)d\phi dz = \dfrac{m}{4R\pi}\int\limits_{-R}^R \int\limits_0^{2\pi}(R^2-z^2)d\phi dz $$

где $m$ - масса сферы. Проинтегрировав, получите ответ данный Архиповым.

[ewert]

В лоб. Пусть $\mu$ -- поверхностная плотность, $dS$ -- площадь бесконечно узкого кольцевого участка сферы и $dl$ -- элемент длины окружности, вращением которого вокруг оси иксов и получен тот участок. По определению:

$$I=\int_{x=-R}^Ry^2\cdot\mu\,dS=\int_{x=-R}^Ry^2\cdot\mu\cdot2\pi y\,dl=2\pi\mu\int_{x=-R}^Ry^3\sqrt{1+{y'}^2}\,dx=$$

$$=\Bigg[y=\sqrt{R^2-x^2},\ y'=-{x\over y}\Bigg]=2\pi\mu\int_{-R}^Ry^2\,R\,dx=\Bigg[t={x\over R}\Bigg]=2\pi\mu R^4\int_{-1}^1(1-t^2)\,dt={8\over3}\pi\mu R^4.$$

Выделяя в этом выражение полную массу $m=\mu\cdot S=\mu\cdot4\pi R^2$, получим $\displaystyle{I={2\over3}mR^2.}$

[Архипов]

Vysockij в сообщении #219517 писал(а):

Если бы я что то нашел, то здесь бы не спрашивал!

Теперь уж найдете. Три варианта уже появились. Один другого краше.

[Vysockij]

Спасибо всем!