Если вам нужен именно вывод... Я бы вывел следующим образом:
Будем считать что функция плотности
задана на поверхности
и за ось примем
. Площадь сферы обозначим
Переходим к цилиндрическим координатам:
Мысленно разбиваем диаметр вдоль оси
на
равных отрезков и получаем соответственно разбиение сферы
на
сферических поясов (и шапочки на полюсах) одинаковой высоты
. Далее проводим
меридианов и соответственно разбиваем каждый сферический пояс на сферические "квадраты" ( в полюсах- треугольники) каждый с угловой мерой
. Получаем в общей сложности
кусочков.
В каждом кусочке /элементе сферы - выбираем точку с координатами
, и находим значение плотности
Момент каждого кусочка
относительно оси
приблизительно равен
Чтобы найти площадь
кривой поверхности, вообще говоря необходимо привлекать частные производные, но в нашем случае (сферы) спасает теорема, утверждающая, что если сферические пояса имеют одинаковую высоту, то их площади равны. (Доказывается средствами матана 2 курса или просто смотри в инете ). Поэтому равны и площади всех элементов нашего разбиения сферы
.
Далее все это суммируем по обоим индексам, устремляем
к бесконечности и получаем двойной интеграл по поверхности как советовали в самом начале.
Ну а если, как частный случай, масса распределена равномерно, то вытаскивая
за интегралы и умножив на
получаем
где
- масса сферы. Проинтегрировав, получите ответ данный
Архиповым.