Приводим ли многочлен над Q

[Ryzhik]

Помогите, пожалуйста, приводим ли многочлен $x^4 - 10 x^2 +1$ над полем рациональных чисел? Если можно, напишите подробнее, почему...

[Бодигрим]

Самый лобовой путь - разложить этот многочлен над комплексными числами и посмотреть, какие там будут множители. Хозяйке на заметку: замена $y=x^2$.

Культурный путь - вспомнить, что было в лекциях про соотношения между коэффициентами многочлена и его рациональными корнями. Что-то было?

[Ryzhik]

Критерий Эйзенштейна... но это ведь достаточное условие... но не необходимое...

[Бодигрим]

Ну, например, у вас мог быть утверждение о том, что приводимость над рациональными числами эквивалентна приводимости над целыми. Если исходный многочлен можно было бы разбить в произведение двух многочленов (кубический на линейный или квадратный на квадратный), то в вашем случае произведение их свободных членов должно быть 1, значит они либо одновременно 1, либо $-1$. Далее, старшие коэффициенты тоже должны быть либо одновременно 1, либо $-1$. Неопределившихся коэффициентов у вас останется всего лишь 2. Будет несложно расписать возможные варианты и требования на эти коэффициенты. Либо вы их найдете (чем разложите многочлен), либо убедитесь, что таких коэффициентов нет (и многочлен неприводим).

ИМХО проще все-таки в лоб разобрать этот многочлен над комплексными числами - там никакой смекалки не понадобится.

Критерий Эйзенштейна - это достаточно условие чего? Достаточное условие именно неприводимости. Правда в данном конкретном случае его никак не используешь.

[ewert]

Бодигрим в сообщении #219659 писал(а):

ИМХО проще все-таки в лоб разобрать этот многочлен над комплексными числами

ну только почему над комплексными-то -- ведь корни-то откровенно вещественны