2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Приводим ли многочлен над Q
Сообщение04.06.2009, 12:42 
Аватара пользователя
Помогите, пожалуйста, приводим ли многочлен $x^4 - 10 x^2 +1$ над полем рациональных чисел? Если можно, напишите подробнее, почему...

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен над Q
Сообщение04.06.2009, 12:48 
Аватара пользователя
Самый лобовой путь - разложить этот многочлен над комплексными числами и посмотреть, какие там будут множители. Хозяйке на заметку: замена $y=x^2$.

Культурный путь - вспомнить, что было в лекциях про соотношения между коэффициентами многочлена и его рациональными корнями. Что-то было?

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен над Q
Сообщение04.06.2009, 17:32 
Аватара пользователя
Критерий Эйзенштейна... но это ведь достаточное условие... но не необходимое...

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен над Q
Сообщение04.06.2009, 18:19 
Аватара пользователя
Ну, например, у вас мог быть утверждение о том, что приводимость над рациональными числами эквивалентна приводимости над целыми. Если исходный многочлен можно было бы разбить в произведение двух многочленов (кубический на линейный или квадратный на квадратный), то в вашем случае произведение их свободных членов должно быть 1, значит они либо одновременно 1, либо $-1$. Далее, старшие коэффициенты тоже должны быть либо одновременно 1, либо $-1$. Неопределившихся коэффициентов у вас останется всего лишь 2. Будет несложно расписать возможные варианты и требования на эти коэффициенты. Либо вы их найдете (чем разложите многочлен), либо убедитесь, что таких коэффициентов нет (и многочлен неприводим).

ИМХО проще все-таки в лоб разобрать этот многочлен над комплексными числами - там никакой смекалки не понадобится.

Критерий Эйзенштейна - это достаточно условие чего? Достаточное условие именно неприводимости. Правда в данном конкретном случае его никак не используешь.

 
 
 
 Re: Приводим ли многочлен над Q
Сообщение04.06.2009, 18:33 
Бодигрим в сообщении #219659 писал(а):
ИМХО проще все-таки в лоб разобрать этот многочлен над комплексными числами

ну только почему над комплексными-то -- ведь корни-то откровенно вещественны

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group