Black-Scholes

[hanabi]

господа. увлекаюсь финансовой математикой как хобби. ничего серьезного. вот тут заинтересовался уравнением Black-Scholes.

скажите, как нему подобраться, с какой стороны? вспомнил про производные, разобрался по книжкам с дифференциальными уравнениями, и даже частными производными. прочитал что Black-Scholes в физике эквивалентен уравнениям диффузии и попытался про эти уравнения прочитать. но все книжки что мне попадались про дифф.уравнения в частных производных сразу начинались со сложных интегралов и формул, которые никаки не объяснялись и подвались как есть.

не подскажете чтобы такое прочитать для чайников по этому уравнению? ну подготовленному чайнику. ну хотя бы чтобы разжевано было что за лемма Ито такая и почему она помогает вывести Black-Scholes?

[bubu gaga]

Через дифуры не самый элегантный способ, если честно

Цена акций --- случайный процесс. Merton (см. Merton. Contimuous Time Finance) показал, что развитие цены акций довольно хорошо описывается стохастическим дифференциальным уравнениeм вида

$$ \mathrm{d}S = \mu(S, t) \, \mathrm{d}t + \sigma(S, t) \, \mathrm{d}W $$

Опция на акцию --- это ценная бумага, чья цена $f$ зависит от цены акции $S$.

Ито (см. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives) показал, что если есть функция $f(S, t)$, то её "приращение" $\mathrm{d}f(S, t)$ можно выразить через частные производные $\frac{\partial f}{\partial S}$, $\frac{\partial f}{\partial t}$ и коэффициенты $\mu(S, t)$, $\sigma(S, t)$, более того источник неопределённости $\mathrm{d}W$ останется тем же самым.

Если $\mathrm{d}f$ и $\mathrm{d}S$ зависят от одного $\mathrm{d}W$, то можно сделать портфель из акции и опции, который на "промежутке" $\mathrm{d}t$ будет безрисковым. Ну а коли безрисковый то не должен приносить больше чем $r\,\mathrm{d}t$ прибыли, где $r$ безрисковая процентная ставка (Так называемое no-arbitrage condition).

Выписываем условие на "отсутствие бесплатного обеда", получаем параболическое дифференциальное уравнение. Его уже можно решать задавая граничные условия. http://planetmath.org/encyclopedia/Anal ... esPDE.html

Читайте Hull'a

[hanabi]

да Hull не самый лучший источник учения для начинающих. вот книжка Wilmott-а как-то более подробно это разжевывает. но все равно знаний мне явно не хватает чтобы все промежуточные шаги пропущенные в книжках самостоятельно восполнить. про стохастическое дифференциальное уравнение я уже понял. тут логика простая а вот как от него дальше выплясывается все остальное - уже с трудностями понимается.

ссылка http://planetmath.org/encyclopedia/Anal ... esPDE.html подвеила мой файрфокс. ошибка в JavaScriptе

-- Сб май 23, 2009 14:49:05 --

не судите строго. увлекаюсь этим предметом только чисто из соображений хобби. мне не надо этого сдавать или использовать по работе.
к Black-Scholes я пробовал подступиться и в лоб - прямое объяснение, и в обход - как к обычному дифф.уравненнию в частных производных, сходному с уравнениями диффузии и передачи тепла.

второй подход мне больше подошел. по очень хорошим книжкам я освежил в памяти со школы забытые понятия производной и интеграла. и понял вообще их смысл физический и математический. понял что такое дифференциальнео уравнение вообще и уравнение в частных производных - в частности.

дальше по книжкам же понял как физики осуществляют процесс математического моделирвоания того или иного процесса - начиная от простого падения яблока на голову ньютона и кончая колебанием струны.

дальше вроде как надо бы рассмотреть процесс моделирования распростраения тепла по металлическому стержню - который описывается heat equation. и вот тут я застрял. объяснение вроде начинаестя понятно а потом бац - и сразу формула. а потом понеслось уже решение уравнения и лес интегралов и дифференциалов.

получается Black-Scholes для меня теперь и в лоб недоступен (требуется понимание всех этих интегралов Ито, сама необходимость существования которого у меня вызывает недоумение) и в обход.

а в Википедии объяснения не нашел - там все очень кратко и для умудренных математиков

[bubu gaga]

hanabi в сообщении #216430 писал(а):

ссылка http://planetmath.org/encyclopedia/Anal ... esPDE.html подвеила мой файрфокс. ошибка в JavaScriptе

Отключите JavaScript, у меня тоже самое было

hanabi писал(а):

объяснение вроде начинаестя понятно а потом бац - и сразу формула. а потом понеслось уже решение уравнения и лес интегралов и дифференциалов.

Стержень --- дело третье. Применимость процесса Ито для курса акций должна мотивироваться из экономических соображений, а не удобства или наукообразности. Посмотрите, что такое (Geometric) Brownian Motion.

hanabi писал(а):

получается Black-Scholes для меня теперь и в лоб недоступен (требуется понимание всех этих интегралов Ито, сама необходимость существования которого у меня вызывает недоумение) и в обход.

Интеграл Ито и лемма Ито --- это разные вещи. Если вы поняли, что такое SDE, то вы поняли, что такое интеграл Ито, потому что SDE это просто сокращённая запись для суммы интегралов.

Я сам далеко не математик, но идея леммы Ито довольно простая. Если Вы у вас есть процесс $S$, который можно описать с помощью SDE, то и функция от этого процесса $f(S, t)$ может быть описана с помощью SDE, чьи параметры можно расчитать с помощью леммы.

[hanabi]

>>>>>> Если вы поняли, что такое SDE, то вы поняли, что такое интеграл Ито, потому что SDE это просто сокращённая запись для суммы интегралов.

вот тут по-подробнее

из прочитанного я понял что SDE прмиенильно к курсу акции это:

изменение цены акции складывается из двух компонентов - из предопределенного изменения и плюс случайный компонент.

$$ \mathrm{d}S = \mu(S, t) \, \mathrm{d}t + \sigma(S, t) \, \mathrm{d}W $$

если в случайный компонент отсуствует, то получается что цена акции растет как деньги в банке - сами по себе предсказуемо.

$$ \mathrm{d}S = \mu(S, t) \, \mathrm{d}t $$

а случайный процесс увеличивает цену акции случайным непредсказуемым образом взятым из гауссового нормального распределения.

причем в книге я прочитал что случайный процесс может быть простым и геометрическим броуновским движением. геометрическое лучше описывает изменение цены акции потому что цена акции меняется тем больше, чем больше ее цена.

я тут глупости не сморозил?

далее, вы сказали что "SDE это просто сокращённая запись для суммы интегралов."

можно посмотреть как выглядит эта запись суммы интегралов?

[bubu gaga]

http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic ... athematics

[finanzmaster]

hanabi в сообщении #216381 писал(а):

господа. увлекаюсь финансовой математикой как хобби. ничего серьезного. вот тут заинтересовался уравнением Black-Scholes.

скажите, как нему подобраться, с какой стороны? вспомнил про производные, разобрался по книжкам с дифференциальными уравнениями, и даже частными производными. прочитал что Black-Scholes в физике эквивалентен уравнениям диффузии и попытался про эти уравнения прочитать. но все книжки что мне попадались про дифф.уравнения в частных производных сразу начинались со сложных интегралов и формул, которые никаки не объяснялись и подвались как есть.

не подскажете чтобы такое прочитать для чайников по этому уравнению? ну подготовленному чайнику. ну хотя бы чтобы разжевано было что за лемма Ито такая и почему она помогает вывести Black-Scholes?

Лемма Ито позволяет дифференцировать функции, аргументом которых является случайный процесс.
Суть, грубо говоря, в том, что у Винеровского процесса нельзя пренебрегать приращением второго порядка (а вот третьего и дальше можно).

Относительно(!) доступно тему излагает Шрив.
У него же можно найти вполне доступный вывод формулы Блэка-Шоулза так, как они исторически это сделали.

Блэк и Шоулз ввели понятие хеджирующей стратегии - то есть непрерывно формировали портфель из акций и бондов, который реплицирует цену опциона при любом сценарии развития финансового рынка.

Они исходили из no arbitrage assumption, то есть, в частности, из того, что цена портфолио изменяется от изменения стоимости акции и бонда, но никак не от переливания денег из акций в бонды и обратно.
А т.к. мы говорим об изменении (за бесконечно малый промежуток) цены портфолио, а эта цена зависит от цены акции, а та - от винеровского процесса, то тут-то и нужна лемма Ито.
Потом уже получается Heat Transfer PDE.

.......................................................

В некоторых книгах пытаются сразу выводить цену европейского колла как мат. ожидание по мартингальной мере.
Этот подход был лишь несколько лет спустя после Блэка и Шоулза развит Крепсом, Харрисоном и Плиской.
Если подходить к нему скурпулезно, то едва ли он проще, чем оригинальная идея Блэка Шоулза.

-- Сб май 30, 2009 17:27:34 --

hanabi писал(а):

изменение цены акции складывается из двух компонентов - из предопределенного изменения и плюс случайный компонент.

$$ \mathrm{d}S = \mu(S, t) \, \mathrm{d}t + \sigma(S, t) \, \mathrm{d}W $$

Да.
Обычно, при выводе Блэка-Шоулза записывают так:
$ \mathrm{d}S_t = S_t(\mu \, \mathrm{d}t + \sigma \, \mathrm{d}W_t) $

hanabi писал(а):

если в случайный компонент отсуствует, то получается что цена акции растет как деньги в банке - сами по себе предсказуемо.

$$ \mathrm{d}S = \mu(S, t) \, \mathrm{d}t $$

А как это в цене акции может отсутствовать случайный фактор?!
Скорее всего, Вы прочитали, что после некоторых манипуляций получаем новый дрифт
$ \bar{\mu} $, который равен $ r $ - то есть процентной ставке по безрисковому вкладу.
Это - переход к мартингальной мере (подход Харрисона и Co), но можно и без него обойтись.

hanabi писал(а):

а случайный процесс увеличивает цену акции случайным непредсказуемым образом взятым из гауссового нормального распределения.
причем в книге я прочитал что случайный процесс может быть простым и геометрическим броуновским движением. геометрическое лучше описывает изменение цены акции потому что цена акции меняется тем больше, чем больше ее цена.

Геометрический винеровский процесс предпочительнее тем, что не приводит к отрицательным ценам на акции, к чему может привести обычный. Обычным моделировал рынок Башелье в начале 20-го века, но он своими идеями опередил время и не располагал полноценным математическим инструментарием.

[Gortaur]

Почитайте Оксендаля SDE - там прекрасно написано и есть перевод на русский.

bubu gaga в сообщении #216414 писал(а):

Если $\mathrm{d}f$ и $\mathrm{d}S$ зависят от одного $\mathrm{d}W$, то можно сделать портфель из акции и опции, который на "промежутке" $\mathrm{d}t$ будет безрисковым. Ну а коли безрисковый то не должен приносить больше чем $r\,\mathrm{d}t$ прибыли, где $r$ безрисковая процентная ставка (Так называемое no-arbitrage condition).

А вот здесь подробнее - каким образом получается существование безрискового портфеля? И что за условие бесплатного обеда?

[bubu gaga]

Delta-Hedging: http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_hedging
BS PDE: http://en.wikipedia.org/wiki/Black-Scho ... choles_PDE

"условие бесплатного обеда" --- это мой весьма вольный перевод "no arbitrage condition"

[H14sk]

Hull. Options, Futures, and Other Derivatives - есть перевод, его, отчасти, можно посмотреть тут: http://books.google.com/books?id=memdWEHvSkcC&hl=ru
Сам вывод уравнения БШ (и его решение) не сложно, а вот принять специфику интегрирования случайного процесса не совсем просто.

$$\int_{0}^{t} \eta(s) d\eta(s) = \frac 1 2 \eta^2(t) - \frac 1 2 t$$

вместо

$$\int_{0}^{t} f(s) df(s) = \frac 1 2 f^2(t)$$

если f(0) = 0$$.
Естественный вывод распределения броуновского движения нашел у Ю.А. Розанова "Теория вероятностей, случайные процессы и математическая ​статистика".

[Gortaur]

Хулла сейчас начинаю читать, до этого читал Wilmott, Howison, Dewynne. The mathematics of financial derivatives (Cambridge, 1996) - прекрасно и понятно написано, очень хорошая книга.

Для тех, кому интересен процесс интегрирования по Ито, т.е. интегралов типа

$$ \int{f(t)\,dB} $$

где $B$ - броуновское движение, рекомендую Оксендаля, но там довольно сложно даже для некоторых математиков. Я, например, смог прочитать немного (что конечно не говорит о сложности абсолютно ничего))))

Меня если честно больше интересует, есть ли книги поновее (после 2000 или даже поближе к 2008) - возможно, там будет описание не только на основе случайного блуждания, либо отражены новейшие результаты.

Если знаете, порекомендуйте статьи или сборники, буду очень благодарен, потому что с 1993, 1996 годов много поменялось, особенно в анализе финансов.

[bubu gaga]

Могу скромно посоветовать (особенно "информатикам") вот эту статью http://www.maths.strath.ac.uk/~aas96106 ... algsde.pdf

У этого автора есть ещё пара интересных вещей на "приземлённом уровне" http://www.maths.strath.ac.uk/~aas96106/

[Gortaur]

2 bubu gaga

если Вы мне, то я скорее математик (чистый), ну и плюс по финансовой математики читал, меня больше интересует, реализованы ли фрактальный и др. невероятностные анализы (может быть, совмещенные) и есть ли по этому поводу статьи или книги.

[H14sk]

Gortaur писал(а):

броуновское движение, рекомендую Оксендаля, но там довольно сложно даже для некоторых математиков

Ну, вроде, Оксендаль дает примеры как считать стохастические интегралы, точнее, скажем, броуновские интегралы, поскольку если процесс будет не броуновский, а с другой дисперсией, то поправка будет иная. Оксендаль показывает как считать непосредственно суммированием и через формулу Ито. Чисто технически второй способ несколько сложнее обычного интегрирования по таблицам.

Gortaur писал(а):

возможно, там будет описание не только на основе случайного блуждания

В смысле для расчета деривативов?

Меня пока смущает иное - когда берем и считаем матожидание произведения М[y(t1)y(t2)], в чем основание условия, что берется min(t1,t2)? Почему, скажем, не максимум?
И никак не могу утрясти, что процесс, т.е. параметризация с.в. по t не зависимость по t. И t и с.в. независимые переменные, хотя с.в. параметризована t.

[bubu gaga]

H14sk: $ \mathsf{E}[y(t_2) y(t_1)] = \mathsf{E}[(y(t_2) - y(t_1) + y(t_1))y(t_1)] $
дальше очевидно из условия независимости приращений.

Gortaur: нет, не Вам, а автору тему.

Вам: Я понятия не имею, что такое фрактальный анализ, возможно вы имеете в виду fractional differentiation и integration? Практический интерес вызывают модели (это я как экономист), где можно показать нетривиальную зависимость между моментами распределения. Вот например обзорная статья по поводу чего не хватает броуновскому движению для полного счастья http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... nt2001.pdf

Там же есть ссылки на всяческие fractional brownian motion и пр. Можете ещё погуглить по long-memories. Больше ничего не знаю, и так сказал больше, чем понимаю сам