Матаппарат для задачи

[Андрей1]

Добрый день,

Бьюсь над задачей и ищу подходящий матаппарат для ее решения.

Задача такова. Есть система, состояние которой описывается числами (a1,a2,a3) и некоторыми суммами: (s1,s2,s3).

Все a1, a2, a3 : a_{min} \le a1, a2, a3 \le a_{max}

Предполагается, что:
1) a1, a2, a3 имеют связь и есть известная зависимость: f: (a1, a2) \to a3 (симметричная по a1 и a2).
2) a1 и a2 выбираются из упорядоченной последовательности чисел $(b_n)$: b0=a_{max}>b1>b2>b3>...>b_M=a_{min}
3) На каждом шаге выбирается вариант i (1,2 или 3), для уменьшения $a_i$, и состояние меняется следующим образом:
a_i \to b_{k-m}, s_i \to s_i-1, где $m>0, m \in Z$, $a_i=b_k$, а остальные параметры: a_{j} \to a_{j'}, s_{j} \to s_{j'} + 1/(b_k-1), где $a_{j'} \ge a_{j}$.
4) Если хотя бы одно из `a' достигло значения $a_i=b_M=a_{min}$, то дальше этот вариант для уменьшения выбирать нельзя.
5) Если хотя бы одно из `a' достигло значения $a_i=b0=a_{max}$, то дальше можно выбирать только вариант уменьшения, при котором $a_i$ уменьшается, либо процедура останавливается.
6) $a_{max}>a_{min}>1$
7) (рабочее предположение) При преобразованиях, если $s_{j}=min(s_{j},s_{k})<0$ ($j \neq i, k \neq i$), то $a_{j} \to a_{j}$ и $a_{k} \to a_{k'}$, $a_{k'}>a_{k}$ (строго больше).

Начальное состояние: (a_{min},a2,a3), и $s^{(0)}=(-M,\sum_{k=0,M-1}{1/(b_k-1)},\sum_{k=0,M-1}{1/(b_k-1)})$.

Вопрос: как построить последовательность чисел $(b_n)$ такую, чтобы не существовало такой последовательности переходов, после которой можно было бы вернуться в состояния с координатами:$(a_{min}, a2, a3)$ и при этом было бы $min(s1-s^{(0)}_1, s2-s^{(0)}_2, s3-s^{(0)}_3)<0$.

Годится любое решение (в том числе и, скорей всего, алгоритмическое).

-- Ср июн 03, 2009 18:24:52 --

Похоже задача решается методами компьютерной алгебры: вводим последовательность $b0, b1, ..., b_M$ (в символьном виде) для заданного M и моделируя переходы находим все самые сильные условия для $b0, b1, ..., b_M$ (чтобы получилось то, что "надо" и не получилось того, чего "не надо").
Гы.

[maxal]

Обозначения у вас путанные.
Проиллюстрируйте сказанное на каком-нибудь числовом примере.

[Андрей1]

Задача не до конца определена еще, видимо.

Чтобы привести пример, перемасштабируем преобразования:
$a_i \to b_{k-1}, s_i \to s_i - L$, где $a_i=b_k$, а остальные параметры: $a_{i'} \to a_{i''}, s_{i'} \to s_{i'} + L/(b_k-1)$, где $a_{i''} \ge a_{i'}$.
Допустим L=209 (примерно).
Состояние обозначим списком, например: {(a1,s1),(a2,s2),(a3,s3)}
$b0=22, b_M=1.1$
Вот пример переходов (последовательность выборов: {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}):
\left( \begin{array}{ccc} \left( \begin{array}{c} 22. \\ -209.37 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 3.7539 \\ 9.97 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 1.30182 \\ 9.97 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 8.19084 \\ -418.48 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 4.05422 \\ 39.05 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 1.40596 \\ 39.05 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 4.54545 \\ -627.52 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 4.65116 \\ 98.01 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 1.55039 \\ 98.01 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 3.22581 \\ -836.545 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 5.40541 \\ 191.92 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 1.7094 \\ 191.92 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 2.5 \\ -1045.57 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 6.45161 \\ 331.27 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 1.90476 \\ 331.27 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 2.08333 \\ -1254.59 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 8. \\ 524.21 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 2.10526 \\ 524.21 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.81818 \\ -1463.6 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 9.52381 \\ 779.67 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 2.35294 \\ 779.67 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.6129 \\ -1672.61 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 11.7647 \\ 1120.69 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 2.66667 \\ 1120.69 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.47059 \\ -1881.62 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 15.3846 \\ 1564.83 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 2.98507 \\ 1564.83 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.35195 \\ -2090.63 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 2158.69 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 3.39132 \\ 2158.69 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.31164 \\ -2299.63 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 2829.35 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 3.67455 \\ 2829.35 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.27652 \\ -2508.64 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 3585.18 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 3.98143 \\ 3585.18 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.24574 \\ -2717.64 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 4435.7 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 4.31393 \\ 4435.7 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.21861 \\ -2926.64 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 5391.75 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 4.67421 \\ 5391.75 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.19461 \\ -3135.65 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 6465.73 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 5.06458 \\ 6465.73 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.17328 \\ -3344.65 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 7671.92 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 5.48755 \\ 7671.92 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.15425 \\ -3553.65 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 9026.84 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 5.94584 \\ 9026.84 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.13724 \\ -3762.65 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 10549.8 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 6.4424 \\ 10549.8 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.12197 \\ -3971.66 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 12263.3 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 6.98044 \\ 12263.3 \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} 1.10824 \\ -4180.66 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 22. \\ 14194.2 \end{array} \right) & \left( \begin{array}{c} 7.56341 \\ 14194.2 \end{array} \right) \end{array} \right)

Последовательность $b_n$: \{22., 20.4828, 15.3846, 11.7647, 9.52381, 8.19084, 8., 7.97101, 7.56341, 6.98044, 6.45161, 6.4424, 5.94584, 5.48755, 5.40541, 5.06458, 4.67421, 4.65116, 4.54545, 4.31393, 4.05422, 3.98143, 3.7539, 3.67455, 3.39132, 3.22581, 2.98507, 2.66667, 2.5, 2.35294, 2.10526, 2.08333, 1.90476, 1.81818,1.7094,1.6129,1.55039, 1.47059, 1.40596, 1.35195, 1.31164, 1.30182, 1.27652, 1.24574, 1.21861, 1.19461, 1.17328, 1.15425, 1.13724,1.12197,1.10824, 1.1\}