2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матаппарат для задачи
Сообщение03.06.2009, 12:07 
Добрый день,

Бьюсь над задачей и ищу подходящий матаппарат для ее решения.

Задача такова. Есть система, состояние которой описывается числами (a1,a2,a3) и некоторыми суммами: (s1,s2,s3).

Все a1, a2, a3 : a_{min} \le a1, a2, a3 \le a_{max}

Предполагается, что:
1) a1, a2, a3 имеют связь и есть известная зависимость: f: (a1, a2) \to a3 (симметричная по a1 и a2).
2) a1 и a2 выбираются из упорядоченной последовательности чисел $(b_n)$: b0=a_{max}>b1>b2>b3>...>b_M=a_{min}
3) На каждом шаге выбирается вариант i (1,2 или 3), для уменьшения $a_i$, и состояние меняется следующим образом:
a_i \to b_{k-m}, s_i \to s_i-1, где $m>0, m \in Z$, $a_i=b_k$, а остальные параметры: a_{j} \to a_{j'}, s_{j} \to s_{j'} + 1/(b_k-1), где $a_{j'} \ge a_{j}$.
4) Если хотя бы одно из `a' достигло значения $a_i=b_M=a_{min}$, то дальше этот вариант для уменьшения выбирать нельзя.
5) Если хотя бы одно из `a' достигло значения $a_i=b0=a_{max}$, то дальше можно выбирать только вариант уменьшения, при котором $a_i$ уменьшается, либо процедура останавливается.
6) $a_{max}>a_{min}>1$
7) (рабочее предположение) При преобразованиях, если $s_{j}=min(s_{j},s_{k})<0$ ($j \neq i, k \neq i$), то $a_{j} \to a_{j}$ и $a_{k} \to a_{k'}$, $a_{k'}>a_{k}$ (строго больше).

Начальное состояние: (a_{min},a2,a3), и $s^{(0)}=(-M,\sum_{k=0,M-1}{1/(b_k-1)},\sum_{k=0,M-1}{1/(b_k-1)})$.

Вопрос: как построить последовательность чисел $(b_n)$ такую, чтобы не существовало такой последовательности переходов, после которой можно было бы вернуться в состояния с координатами:$(a_{min}, a2, a3)$ и при этом было бы $min(s1-s^{(0)}_1, s2-s^{(0)}_2, s3-s^{(0)}_3)<0$.

Годится любое решение (в том числе и, скорей всего, алгоритмическое).

-- Ср июн 03, 2009 18:24:52 --

Похоже задача решается методами компьютерной алгебры: вводим последовательность $b0, b1, ..., b_M$ (в символьном виде) для заданного M и моделируя переходы находим все самые сильные условия для $b0, b1, ..., b_M$ (чтобы получилось то, что "надо" и не получилось того, чего "не надо").
Гы. :)

 
 
 
 Re: Матаппарат для задачи
Сообщение04.06.2009, 09:40 
Аватара пользователя
Обозначения у вас путанные.
Проиллюстрируйте сказанное на каком-нибудь числовом примере.

 
 
 
 Re: Матаппарат для задачи
Сообщение04.06.2009, 10:46 
Задача не до конца определена еще, видимо.

Чтобы привести пример, перемасштабируем преобразования:
$a_i \to b_{k-1}, s_i \to s_i - L$, где $a_i=b_k$, а остальные параметры: $a_{i'} \to a_{i''}, s_{i'} \to s_{i'} + L/(b_k-1)$, где $a_{i''} \ge a_{i'}$.
Допустим L=209 (примерно).
Состояние обозначим списком, например: {(a1,s1),(a2,s2),(a3,s3)}
$b0=22, b_M=1.1$
Вот пример переходов (последовательность выборов: {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}):
\left(
\begin{array}{ccc}
 \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 -209.37
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 3.7539 \\
 9.97
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 1.30182 \\
 9.97
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 8.19084 \\
 -418.48
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 4.05422 \\
 39.05
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 1.40596 \\
 39.05
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 4.54545 \\
 -627.52
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 4.65116 \\
 98.01
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 1.55039 \\
 98.01
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 3.22581 \\
 -836.545
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 5.40541 \\
 191.92
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 1.7094 \\
 191.92
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 2.5 \\
 -1045.57
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 6.45161 \\
 331.27
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 1.90476 \\
 331.27
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 2.08333 \\
 -1254.59
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 8. \\
 524.21
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 2.10526 \\
 524.21
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.81818 \\
 -1463.6
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 9.52381 \\
 779.67
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 2.35294 \\
 779.67
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.6129 \\
 -1672.61
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 11.7647 \\
 1120.69
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 2.66667 \\
 1120.69
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.47059 \\
 -1881.62
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 15.3846 \\
 1564.83
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 2.98507 \\
 1564.83
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.35195 \\
 -2090.63
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 2158.69
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 3.39132 \\
 2158.69
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.31164 \\
 -2299.63
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 2829.35
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 3.67455 \\
 2829.35
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.27652 \\
 -2508.64
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 3585.18
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 3.98143 \\
 3585.18
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.24574 \\
 -2717.64
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 4435.7
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 4.31393 \\
 4435.7
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.21861 \\
 -2926.64
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 5391.75
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 4.67421 \\
 5391.75
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.19461 \\
 -3135.65
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 6465.73
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 5.06458 \\
 6465.73
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.17328 \\
 -3344.65
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 7671.92
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 5.48755 \\
 7671.92
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.15425 \\
 -3553.65
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 9026.84
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 5.94584 \\
 9026.84
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.13724 \\
 -3762.65
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 10549.8
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 6.4424 \\
 10549.8
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.12197 \\
 -3971.66
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 12263.3
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 6.98044 \\
 12263.3
\end{array}
\right) \\
 \left(
\begin{array}{c}
 1.10824 \\
 -4180.66
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 22. \\
 14194.2
\end{array}
\right) & \left(
\begin{array}{c}
 7.56341 \\
 14194.2
\end{array}
\right)
\end{array}
\right)

Последовательность $b_n$: \{22., 20.4828, 15.3846, 11.7647,
 9.52381, 8.19084, 8., 7.97101, 7.56341, 6.98044, 6.45161, 6.4424, 5.94584, 5.48755, 5.40541, 5.06458,
4.67421, 4.65116, 4.54545, 4.31393, 4.05422, 3.98143, 3.7539, 3.67455, 3.39132, 3.22581,
2.98507, 2.66667, 2.5, 2.35294, 2.10526, 2.08333,
1.90476, 1.81818,1.7094,1.6129,1.55039,
1.47059, 1.40596, 1.35195, 1.31164, 1.30182, 1.27652, 1.24574, 1.21861, 1.19461, 1.17328, 1.15425, 1.13724,1.12197,1.10824, 1.1\}

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group